Введение

Двойно экспоненциальная последовательность целых чисел

В теории чисел последовательность Сильвестра — это последовательность целых чисел, в которой каждый член равен произведению всех предыдущих членов плюс один. Первые несколько её членов:
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443.
Последовательность Сильвестра названа в честь Джеймса Джозефа Сильвестра, который впервые исследовал её в 1880 году. Её значения растут двойно экспоненциально, а сумма обратных величин образует ряд единичных дробей, сходящийся к 1 быстрее, чем любой другой ряд единичных дробей. Произведение пустого множества равно 1, поэтому эта формула даёт s₀ = 2, без необходимости в отдельном начальном значении. Альтернативно, последовательность можно определить рекуррентно, с начальным значением s₀ = 2. Легко доказать по индукции, что это эквивалентно другому определению.

Приложения

используют свойства последовательности Сильвестра для определения большого числа сасакианских эйнштейновских многообразий, имеющих дифференциальную топологию нечетномерных сфер или экзотических сфер. Они показывают, что число различных сасакианских эйнштейновских метрик на топологической сфере размерности 2n − 1 по крайней мере пропорционально sn и, следовательно, имеет двойной экспоненциальный рост относительно n. Как описано, и использовали значения, выведенные из последовательности Сильвестра, для построения нижних оценок для онлайн-алгоритмов упаковки в контейнеры. Аналогичным образом используют эту последовательность для получения нижней границы производительности двухмерного алгоритма раскроя. Проблема Знама касается множеств чисел, таких что каждое число в множестве делит, но не равно произведению всех остальных чисел плюс один. Без условия неравенства, значения в последовательности Сильвестра решали бы эту проблему; с этим условием, существуют другие решения, полученные из рекурренций, подобных той, что определяет последовательность Сильвестра. Решения проблемы Знама находят применение в классификации поверхностных особенностей (Brenton и Hill, 1988) и в теории недетерминированных конечных автоматов. описывает применение наилучших приближений к единице суммами k единичных дробей для получения нижней границы числа делителей любого совершенного числа, а использует то же свойство для получения верхней границы размера некоторых групп.