Введение
Функция в теории чисел
+ Legendre symbol for various a (along top) and p (along left side). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 1 −1 5 0 1 −1 −1 1 7 0 1 1 −1 1 −1 −1 11 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1Only 0 ≤ a < p are shown, since due to the first property below any other a can be reduced modulo p. Quadratic residues are highlighted in yellow, and correspond precisely to the values 0 and 1. In number theory, the Legendre symbol is a multiplicative function with values 1, −1, 0 that is a quadratic character modulo of an odd prime number p: its value at a (nonzero) quadratic residue mod p is 1 and at a non quadratic residue (non residue) is −1. Its value at zero is 0. The Legendre symbol was introduced by Adrien Marie Legendre in 1798 in the course of his attempts at proving the law of quadratic reciprocity. Generalizations of the symbol include the Jacobi symbol and Dirichlet characters of higher order. The notational convenience of the Legendre symbol inspired introduction of several other "symbols" used in algebraic number theory, such as the Hilbert symbol and the Artin symbol.
+ Символ Лежендра для различных *a* (вверху) и *p* (слева). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 1 −1 5 0 1 −1 −1 1 7 0 1 1 −1 1 −1 −1 11 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1
+ Legendre symbol for various a (along top) and p (along left side). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 1 −1 5 0 1 −1 −1 1 7 0 1 1 −1 1 −1 −1 11 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1Only 0 ≤ a < p are shown, since due to the first property below any other a can be reduced modulo p. Quadratic residues are highlighted in yellow, and correspond precisely to the values 0 and 1. In number theory, the Legendre symbol is a multiplicative function with values 1, −1, 0 that is a quadratic character modulo of an odd prime number p: its value at a (nonzero) quadratic residue mod p is 1 and at a non quadratic residue (non residue) is −1. Its value at zero is 0. The Legendre symbol was introduced by Adrien Marie Legendre in 1798 in the course of his attempts at proving the law of quadratic reciprocity. Generalizations of the symbol include the Jacobi symbol and Dirichlet characters of higher order. The notational convenience of the Legendre symbol inspired introduction of several other "symbols" used in algebraic number theory, such as the Hilbert symbol and the Artin symbol.
Показаны только значения 0 ≤ *a* < *p*, поскольку благодаря первому свойству, указанному ниже, любое другое значение *a* можно привести по модулю *p*. Квадратичные остатки выделены жёлтым цветом и точно соответствуют значениям 0 и 1. В теории чисел символ Лежендра — это мультипликативная функция со значениями 1, −1, 0, являющаяся квадратичным характером по модулю нечётного простого числа *p*: его значение при (ненулевом) квадратичном остатке по модулю *p* равно 1, а при неквадратичном остатке (неостатке) — −1. Его значение при нуле равно 0. Символ Лежендра был введён Адриеном Мари Лежандром в 1798 году в ходе его попыток доказать закон квадратичной взаимности. Обобщениями символа являются символ Якоби и символы Дирихле высшего порядка. Удобство обозначений символа Лежендра послужило вдохновением для введения нескольких других "символов", используемых в алгебраической теории чисел, таких как символ Гильберта и символ Артина.
+ Legendre symbol for various a (along top) and p (along left side). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 1 −1 5 0 1 −1 −1 1 7 0 1 1 −1 1 −1 −1 11 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1Only 0 ≤ a < p are shown, since due to the first property below any other a can be reduced modulo p. Quadratic residues are highlighted in yellow, and correspond precisely to the values 0 and 1. In number theory, the Legendre symbol is a multiplicative function with values 1, −1, 0 that is a quadratic character modulo of an odd prime number p: its value at a (nonzero) quadratic residue mod p is 1 and at a non quadratic residue (non residue) is −1. Its value at zero is 0. The Legendre symbol was introduced by Adrien Marie Legendre in 1798 in the course of his attempts at proving the law of quadratic reciprocity. Generalizations of the symbol include the Jacobi symbol and Dirichlet characters of higher order. The notational convenience of the Legendre symbol inspired introduction of several other "symbols" used in algebraic number theory, such as the Hilbert symbol and the Artin symbol.
Связанные функции
Символ Якоби является обобщением символа Лежандра, допускающим составной второй (нижний) аргумент n, хотя n должен оставаться нечётным и положительным. Это обобщение предоставляет эффективный способ вычисления всех символов Лежандра без предварительного разложения на множители. Дальнейшим расширением является символ Кронекера, в котором нижний аргумент может быть любым целым числом. Символ степенного остатка обобщает символ Лежандра для степени n, большей единицы. Символ Лежандра представляет собой частный случай символа степенного остатка при n = 2.