Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Умножающая функция в теории чисел – функция Мёбиуса в теории чисел
Multiplicative function in number theory
the number theoretic Möbius function
Функция Мёбиуса μ(n) – это умножающая функция в теории чисел, введенная немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (также транслитерируемым как Мёбиус) в 1832 году. Она широко используется в элементарной и аналитической теории чисел и чаще всего встречается как часть формулы обращения Мёбиуса, названной в его честь. После работ Джан Карло Рота в 1960-х годах обобщения функции Мёбиуса были введены в комбинаторику и обозначаются аналогичным образом: μ(x).
The Möbius function μ(n) is a multiplicative function in number theory introduced by the German mathematician August Ferdinand Möbius (also transliterated Moebius) in 1832. It is ubiquitous in elementary and analytic number theory and most often appears as part of its namesake the Möbius inversion formula. Following work of Gian Carlo Rota in the 1960s, generalizations of the Möbius function were introduced into combinatorics, and are similarly denoted μ(x).
Физика
Функция Мёбиуса также возникает в модели суперсимметрии примонального газа или свободного газа Римана. В этой теории фундаментальные частицы или "примоны" имеют энергии log p. При второй квантизации рассматриваются многочастичные возбуждения, которые описываются как log n для любого натурального числа n. Это следует из уникальности разложения натуральных чисел на простые множители. В свободном газе Римана может появиться любое натуральное число, если примоны рассматриваются как бозоны. Если же они рассматриваются как фермионы, то принцип исключения Паули запрещает квадраты. Оператор [[(1)^F, различающий фермионы и бозоны, является ни чем иным, как функцией Мёбиуса μ(n). Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, в том числе тот факт, что его функция распределения совпадает с функцией дзета Римана. Эта идея лежит в основе предпринятой Аленом Коннесом попытки доказать гипотезу Римана.
The Möbius function also arises in the primon gas or free Riemann gas model of supersymmetry. In this theory, the fundamental particles or "primons" have energies log p. Under second quantization, multiparticle excitations are considered; these are given by log n for any natural number n. This follows from the fact that the factorization of the natural numbers into primes is unique. In the free Riemann gas, any natural number can occur, if the primons are taken as bosons. If they are taken as fermions, then the Pauli exclusion principle excludes squares. The operator [[( 1)^F that distinguishes fermions and bosons is then none other than the Möbius function μ(n). The free Riemann gas has a number of other interesting connections to number theory, including the fact that the partition function is the Riemann zeta function. This idea underlies Alain Connes's attempted proof of the Riemann hypothesis.
Средний порядок
Среднее значение (в смысле усреднения по порядку) функции Мёбиуса равно нулю. Это утверждение, фактически, эквивалентно теореме о простых числах.
The mean value (in the sense of average orders) of the Möbius function is zero. This statement is, in fact, equivalent to the prime number theorem.
Алгебры частоты
В комбинаторике каждому локально конечному частично упорядоченному множеству (посету) сопоставляется алгебра инцидентности. Выдающимся элементом этой алгебры является функция Мёбиуса данного посета. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в данной статье, по сути совпадает с функцией Мёбиуса множества всех положительных целых чисел, частично упорядоченных отношением делимости. Подробное определение и несколько примеров этих общих функций Мёбиуса можно найти в статье об алгебрах инцидентности.
In combinatorics, every locally finite partially ordered set (poset) is assigned an incidence algebra. One distinguished member of this algebra is that poset's "Möbius function". The classical Möbius function treated in this article is essentially equal to the Möbius function of the set of all positive integers partially ordered by divisibility. See the article on incidence algebras for the precise definition and several examples of these general Möbius functions.
Функция Поповичи
Константин Попович определил обобщенную функцию Мёбиуса как k-кратное свертывание Дирихле функции Мёбиуса с самой собой. Следовательно, это снова мультипликативная функция, для которой
Constantin Popovici defined a generalised Möbius function to be the k fold Dirichlet convolution of the Möbius function with itself. It is thus again a multiplicative function with
где биномиальный коэффициент считается равным нулю, если a > k. Определение можно расширить на комплексные значения k, рассматривая биномиальный коэффициент как полином от k.
where the binomial coefficient is taken to be zero if a > k. The definition may be extended to complex k by reading the binomial as a polynomial in k.