Введение

В математике, гипотеза — это утверждение или предположение, выдвигаемое без доказательств на основе имеющихся данных. Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (остающаяся гипотезой) или последняя теорема Ферма (гипотеза до тех пор, пока не была доказана Эндрю Уайлсом в 1995 году), оказали значительное влияние на историю математики, поскольку для их доказательства разрабатывались новые области математики.

Доказательство

Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих гипотезу, сформулированную в общем виде, каким бы большим оно ни было, недостаточно для установления её истинности, поскольку один контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют незначительные результаты, полученные исследовательскими группами, которые расширили поиск контрпримера по сравнению с предыдущими попытками. Например, гипотеза Коллатца, касающаяся того, сходятся ли определенные последовательности целых чисел, была проверена для всех целых чисел до 1,2 × 10¹² (более триллиона). Однако отсутствие контрпримера после масштабного поиска не является доказательством истинности гипотезы, поскольку гипотеза может быть ложной, но иметь очень большой минимальный контрпример. Тем не менее, математики часто считают гипотезу хорошо обоснованной, даже если она ещё не доказана. Эти обоснования могут быть различного рода, например, проверка следствий из неё или установление тесных связей с известными результатами. Гипотеза считается доказанной только тогда, когда показано, что она не может быть ложной с логической точки зрения. Существуют различные методы доказательства; подробности см. в разделе «Методы математического доказательства». Один из методов доказательства, применимый, когда существует лишь конечное число случаев, которые могут привести к контрпримеру, известен как «полный перебор»: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи и показывается, что ни один из них не является контрпримером. В некоторых случаях число случаев достаточно велико, и в этом случае доказательство полным перебором на практике может потребовать использования компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, достоверность доказательств теоремы о четырёх красках, полученных с помощью компьютера в 1976 и 1997 годах, первоначально подвергалась сомнению, но в конечном итоге была подтверждена в 2005 году программным обеспечением для автоматического доказательства теорем. Когда гипотеза доказана, она перестаёт быть гипотезой и становится теоремой. Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, такие как теорема о геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре), последняя теорема Ферма и другие.

Опровержение

Гипотезы, опровергнутые контрпримером, иногда называют неверными гипотезами (например, гипотеза Поли и гипотеза о сумме степеней Эйлера). В случае последней, первый найденный контрпример для n=4 включал числа в миллионах, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.

Независимые гипотезы

Не всякое предположение в конечном итоге доказывается истинным или ложным. Гипотеза континуума, стремящаяся установить относительную мощность определенных бесконечных множеств, была в конечном счете показана независимой от общепринятого набора аксиом теории множеств Цермело — Френкеля. Следовательно, это утверждение или его отрицание можно принять в качестве новой аксиомы согласованным образом (подобно тому, как постулат Евклида о параллельных прямых можно принимать как истинный или ложный в аксиоматической системе геометрии). В таком случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто ищут новое доказательство, не требующее этой гипотезы (аналогично тому, как желательно, чтобы утверждения в евклидовой геометрии доказывались, используя только аксиомы нейтральной геометрии, то есть без постулата о параллельных прямых). Основным исключением из этого правила на практике является аксиома выбора, поскольку большинство исследователей обычно не обращают внимания на то, требуется ли она для получения результата, если они специально не изучают эту аксиому.

Условные доказательства

Иногда догадку называют гипотезой, когда она часто и неоднократно используется в качестве предположения в доказательствах других результатов. Например, гипотеза Римана — это догадка из теории чисел, которая, среди прочего, предсказывает распределение простых чисел. Мало кто из теоретиков чисел сомневается в истинности гипотезы Римана. Более того, в ожидании её окончательного доказательства, некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, зависящих от истинности этой догадки. Такие доказательства называются условными: предполагаемые догадки фигурируют в условиях теоремы. Однако эти "доказательства" рухнут, если выяснится, что догадка ложна, поэтому существует значительный интерес к установлению истинности или ложности догадок этого типа.

Последняя теорема Ферма

В теории чисел последняя теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма, особенно в старых текстах) утверждает, что не существует трех положительных целых чисел *a*, *b* и *c*, удовлетворяющих уравнению *aⁿ + bⁿ = cⁿ* для любого целого числа *n*, большего двух. Эта теорема была впервые сформулирована Пьером де Ферма в 1637 году на полях экземпляра "Арифметики", где он заявил, что обладает доказательством, слишком объемным для записи на полях. Первое успешное доказательство было опубликовано Эндрю Уайлсом в 1994 году и официально увидело свет в 1995 году, после 358 лет усилий математиков. Неразрешимая проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы о модулярности в XX веке. Она является одной из наиболее известных теорем в истории математики, и до своего доказательства была занесена в Книгу рекордов Гиннеса как "самая сложная математическая задача".

Теорема о четырех цветах

В математике теорема о четырех цветах, или теорема о четырехцветной карте, утверждает, что при любом разделении плоскости на смежные области, образующие фигуру, называемую картой, для раскраски областей карты требуется не более четырех цветов, так чтобы никакие две смежные области не были окрашены в один и тот же цвет. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, не являющуюся углом, где углы – это точки, принадлежащие трем или более областям. Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона смежны, но Юта и Нью-Мексико, разделяющие только точку, которая также принадлежит Аризоне и Колорадо, – нет. Мёбиус упомянул об этой проблеме в своих лекциях еще в 1840 году. Предположение было впервые сформулировано 23 октября 1852 года, когда Фрэнсис Гатри, пытаясь раскрасить карту графств Англии, заметил, что требуется всего четыре различных цвета. Теорема о пяти цветах, имеющая короткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно для раскраски карты, и была доказана в конце XIX века; однако доказать, что достаточно четырех цветов, оказалось значительно сложнее. После первой формулировки теоремы о четырех цветах в 1852 году появилось множество неверных доказательств и ложных контрпримеров. Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном. Это была первая крупная теорема, доказанная с использованием компьютера. Подход Аппеля и Хакена заключался в том, что было показано существование определенного набора из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью наименьшего контрпримера к теореме о четырех цветах (то есть, если бы они присутствовали, можно было бы построить меньший контрпример). Аппель и Хакен использовали специализированную компьютерную программу для подтверждения того, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, потенциально являющаяся контрпримером, должна содержать фрагмент, похожий на одну из этих 1936 карт. Проведя сотни страниц ручного анализа, Аппель и Хакен пришли к выводу, что наименьшего контрпримера не существует, поскольку любой из них должен одновременно содержать и не содержать одну из этих 1936 карт. Это противоречие означает, что контрпримеров не существует вообще, и, следовательно, теорема верна. Первоначально их доказательство не было принято математиками, поскольку компьютерное доказательство было невозможно проверить вручную. Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя некоторые сомнения сохраняются.

Главная перемена

Hauptvermutung (нем. основное предположение) геометрической топологии — это предположение о том, что любые две триангуляции триангулируемого пространства имеют общее уточнение, то есть единую триангуляцию, которая является подразбиением обеих из них. Оно было впервые сформулировано в 1908 году Штайницем и Тице. В настоящее время известно, что это предположение неверно. Не многообразная версия была опровергнута Джоном Милнором в 1961 году с использованием кручения Ридемейстера. Многообразная версия верна в размерностях 1 ≤ m ≤ 3. Случаи m = 2 и m = 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Э. Мойсом в 1920-х и 1950-х годах соответственно.

Гипотезы Вейла

В математике гипотезы Вейля представляли собой ряд весьма влиятельных предложений относительно генерирующих функций (известных как локальные дзета-функции), выведенных из подсчета числа точек на алгебраических многообразиях над конечными полями. Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек, а также точек над каждым конечным полем с qk элементами, содержащим это поле. Генерирующая функция имеет коэффициенты, полученные из чисел Nk точек над (по существу единственным) полем с qk элементами. Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями, должны удовлетворять функциональному уравнению и должны иметь нули в определенных областях. Последние два утверждения были сознательно смоделированы по аналогии с дзета-функцией Римана и гипотезой Римана. Рациональность была доказана , функциональное уравнение – , а аналог гипотезы Римана – .

Гипотеза Понкаре

В математике, гипотеза Пуанкаре — это теорема о характеристике 3-сферы, которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырёхмерном пространстве. Гипотеза утверждает, что: каждое простосвязное, замкнутое 3-многообразие гомеоморфно 3-сфере. Эквивалентная формулировка гипотезы использует более слабое понятие эквивалентности, чем гомеоморфизм, — гомотопическую эквивалентность: если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно необходимо гомеоморфно ей. Впервые выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трёхмерное пространство, но является связным, конечным по размеру и не имеет границ (замкнутое 3-многообразие). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что любую петлю в нём можно непрерывно стянуть в точку, то оно обязательно является трёхмерной сферой. Аналогичный результат был известен для более высоких размерностей на протяжении некоторого времени. После почти столетия усилий математиков, Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трёх статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv. Доказательство развивало программу Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения этой задачи. Гамильтон позже предложил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи с хирургией, для систематического удаления сингулярных областей по мере их возникновения контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трёх измерениях. Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили корректность доказательства Перельмана. До своего доказательства гипотеза Пуанкаре была одним из важнейших нерешённых вопросов в топологии.

Гипотеза Римана

В математике гипотеза Римана, предложенная Бернхардом Риманом, является предположением о том, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть, равную 1/2. Это название также используется для некоторых тесно связанных аналогий, например, гипотезы Римана для кривых над конечными полями. Гипотеза Римана влечет за собой следствия относительно распределения простых чисел. Наряду с соответствующими обобщениями, некоторые математики считают её наиболее важной нерешенной проблемой в чистой математике. Гипотеза Римана, вместе с гипотезой Гольдбаха, входит в восьмую проблему Гильберта из списка 23 нерешенных проблем, сформулированных Давидом Гильбертом; она также является одной из задач Института математики Клэя, за решение которых учреждена премия Millennium Prize.

Проблема P против NP

Проблема P против NP — одна из главных нерешённых проблем в информатике. В упрощённом виде она спрашивает, можно ли любую задачу, решение которой можно быстро проверить с помощью компьютера, также быстро решить с помощью компьютера; широко распространено предположение, что ответ отрицательный. Впервые она была фактически упомянута в 1956 году в письме, написанном Куртом Гёделем Джону фон Нейману. Гёдель спросил, можно ли определённую NP-полную задачу решить за квадратичное или линейное время. Точная формулировка проблемы P=NP была представлена в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей работе «Сложность процедур доказательства теорем» и многими считается важнейшей открытой проблемой в данной области. Она входит в число семи «Проблем тысячелетия», выбранных Институтом математики Клэя, за первое правильное решение которых предлагается приз в размере 1 000 000 долларов США.

В других науках

Карл Поппер первым ввёл термин "предположение" в научную философию. Предположение связано с гипотезой, которая в науке представляет собой проверяемое предположение.