Введение
Смешанные стратегические равновесия объясняются как предел чистой стратегической равновесия В теории игр теорему очистки внес вклад лауреат Нобелевской премии Джон Харсаньи в 1973 году. Теорема направлена на оправдание загадочного аспекта смешанной стратегии равновесия Нэша: каждый игрок полностью равнодушен к каждому из действий, на которые он придает ненулевой вес, но он смешивает их так, чтобы каждый другой игрок также был равнодушен. Смешанные стратегические равновесия объясняются как предел чистых стратегических равновесий для нарушенной игры с неполной информацией, в которой выигрыши каждого игрока известны им самим, но не их противникам. Идея заключается в том, что предсказанная смешанная стратегия оригинальной игры возникает как постоянно улучшающаяся приближение игры, которая не наблюдается теоретиком, который разработал оригинальную, идеализированную игру. Очевидно смешанный характер стратегии на самом деле является результатом того, что каждый игрок играет в чистую стратегию с пороговыми значениями, которые зависят от распределения ex ante по континууму выплат, которые может получить игрок. По мере того, как этот континуум сокращается до нуля, стратегии игроков сходятся с предсказанными равновесиями Нэша оригинальной, неразрушенной, полной информационной игры. Результат также является важным аспектом современных исследований в эволюционной теории игр, где возмущенные значения интерпретируются как распределения по типам игроков, случайным образом соединенных в популяции для игры.
In game theory, the purification theorem was contributed by Nobel laureate John Harsanyi in 1973. The theorem aims to justify a puzzling aspect of mixed strategy Nash equilibria: that each player is wholly indifferent amongst each of the actions he puts non zero weight on, yet he mixes them so as to make every other player also indifferent. The mixed strategy equilibria are explained as being the limit of pure strategy equilibria for a disturbed game of incomplete information in which the payoffs of each player are known to themselves but not their opponents. The idea is that the predicted mixed strategy of the original game emerge as ever improving approximations of a game that is not observed by the theorist who designed the original, idealized game. The apparently mixed nature of the strategy is actually just the result of each player playing a pure strategy with threshold values that depend on the ex ante distribution over the continuum of payoffs that a player can have. As that continuum shrinks to zero, the players strategies converge to the predicted Nash equilibria of the original, unperturbed, complete information game. The result is also an important aspect of modern day inquiries in evolutionary game theory where the perturbed values are interpreted as distributions over types of players randomly paired in a population to play games.
Технические детали
Доказательство Харсаньи включает в себя сильное предположение, что возмущения для каждого игрока независимы от других игроков. Однако были предприняты дальнейшие усовершенствования, чтобы сделать теорему более общей. Основным результатом теоремы является то, что все смешанные стратегические равновесия данной игры могут быть очищены с использованием той же последовательности возмущенных игр. Однако, в дополнение к независимости возмущений, он полагается на набор выплат для этой последовательности игр, которые имеют полную меру. Есть игры патологического характера, для которых это условие не может быть соблюдено. Основная проблема с этими играми относится к одной из двух категорий: (1) различные смешанные стратегии игры очищаются различными последовательностями нарушенных игр и (2) некоторые смешанные стратегии игры включают слабо доминирующие стратегии. Никакая смешанная стратегия, включающая слабо доминирующую стратегию, не может быть очищена с использованием этого метода, потому что если есть какая-либо неотрицательная вероятность того, что противник будет играть в стратегию, для которой слабо доминирующая стратегия не является лучшим ответом, то никто никогда не захочет играть в слабо доминирующую стратегию. Следовательно, предел не может быть соблюден, потому что он включает в себя прерывистость.