Введение
Геометрический метод визуализации вращающегося жесткого тела В классической механике конструкция Понсо (по имени Луи Понсо) - это геометрический метод визуализации свободного движения крутящего момента вращающегося жесткого тела, то есть движения жесткого тела, на которое не действуют внешние силы. Это движение имеет четыре константы: кинетическая энергия тела и три компонента углового момента, выраженные относительно инерциальной лабораторной рамы. Вектор угловой скорости жесткого ротора не является постоянным, но удовлетворяет уравнениям Эйлера. Сохранение кинетической энергии и углового момента обеспечивают два ограничения на движение тела без ясного решения этих уравнений, движение может быть описано геометрически следующим образом: Движение жесткого тела полностью определяется движением его инерционного эллипсоида, который жестко закреплен за жестким телом, как координатная рамка. Его инерционный эллипсоид катится, не скользя, на неизменной плоскости, при этом центр эллипсоида находится на постоянной высоте над плоскостью. Во все времена, это точка контакта между эллипсоидом и плоскостью. Движение периодическое, поэтому выделяются две закрытые кривые, одна на эллипсоиде, другая на плоскости. Закрытая кривая на эллипсоиде - это полигод. Закрытая кривая на плоскости - герполода. Если жесткое тело симметрично (имеет два равных момента инерции), вектор описывает конус (а его конечная точка - круг). Это свободная от крутящего момента прецессия оси вращения ротора.
In classical mechanics, Poinsot's construction (after Louis Poinsot) is a geometrical method for visualizing the torque free motion of a rotating rigid body, that is, the motion of a rigid body on which no external forces are acting. This motion has four constants: the kinetic energy of the body and the three components of the angular momentum, expressed with respect to an inertial laboratory frame. The angular velocity vector of the rigid rotor is not constant, but satisfies Euler's equations. The conservation of kinetic energy and angular momentum provide two constraints on the motion of
Without explicitly solving these equations, the motion can be described geometrically as follows:
The rigid body's motion is entirely determined by the motion of its inertia ellipsoid, which is rigidly fixed to the rigid body like a coordinate frame. Its inertia ellipsoid rolls, without slipping, on the invariable plane, with the center of the ellipsoid a constant height above the plane. At all times, is the point of contact between the ellipsoid and the plane. The motion is periodic, so traces out two closed curves, one on the ellipsoid, another on the plane. The closed curve on the ellipsoid is the polhode. The closed curve on the plane is the herpolhode. If the rigid body is symmetric (has two equal moments of inertia), the vector describes a cone (and its endpoint a circle). This is the torque free precession of the rotation axis of the rotor.
Выведение полоходов в каркасе
В основной оси (которая вращается в абсолютном пространстве) вектор углового момента не сохраняется даже при отсутствии применяемых крутящих сил, но варьируется, как описано уравнениями Эйлера. Однако при отсутствии приложенных крутящих сил величина углового момента и кинетическая энергия сохраняются, где the составляющие вектора углового момента вдоль основных осей, а the - основные моменты инерции. Эти законы сохранения эквивалентны двум ограничениям для трехмерного вектора углового момента движения. Условия кинетической энергии лежат на эллипсоиде, тогда как ограничения углового момента движения лежат на сфере. Эти две поверхности пересекаются в двух кривых, сформированных как край тако, которые определяют возможные решения для Это показывает, что , и полигоны, остаются на замкнутом цикле, в движущейся системе отсчета объекта. Таким образом, ориентация тела в пространстве имеет две степени свободы. Во-первых, какая-то точка на "краю тако" должна выровняться с постоянным вектором в абсолютном пространстве. Во-вторых, с вектором в раме тела, который проходит через эту точку фиксированной, тело может иметь любую сумму вращения вокруг этого вектора. В принципе, ориентация тела - это точка на 2-м тороидном многоугольнике внутри 3-го многоугольника всех ориентаций. В общем, объект будет следовать непериодическому пути на этом торе, но он может следовать периодическому пути. Время, необходимое для завершения одного цикла вокруг своей трассы в раме корпуса, является постоянным, но после цикла тело будет вращаться на сумму, которая может быть не рациональным числом градусов, в этом случае ориентация будет не периодической, а почти периодической. В целом, торус почти определяется тремя параметрами: соотношением второго и третьего моментов инерции к наивысшему из трех моментов инерции и соотношением, относящим угловой момент к энергии, умноженной на наивысший момент инерции. Но для любого такого набора параметров есть два тори, потому что есть два "тако" (соответствующие двум полидодам). Набор вращений на 180° переносит любую ориентацию одного тора в ориентацию другого с противоположной точкой, выравниваемой с вектором углового момента. Если угловой момент точно выравнивается с основными осями, торос вырождается в одну петлю. Если точно два момента инерции равны (так называемое симметричное тело), то в дополнение к Тори будет бесконечное количество петлей, и если все три момента инерции равны, будут петли, но нет Тори. Если три момента инерции все разные, но промежуточная ось не выравнивается с угловым моментом, то ориентация будет некоторой точкой на топологическом открытом кольце.
where the are the components of the angular momentum vector along the principal axes, and the are the principal moments of inertia. These conservation laws are equivalent to two constraints to the three dimensional angular momentum vector The kinetic energy constrains to lie on an ellipsoid, whereas the angular momentum constraint constrains to lie on a sphere. These two surfaces intersect in two curves shaped like the edge of a taco that define the possible solutions for This shows that , and the polhode, stay on a closed loop, in the object's moving frame of reference. The orientation of the body in space thus has two degrees of freedom. Firstly, some point on the "taco edge" has to align with which is a constant vector in absolute space. Secondly, with the vector in the body frame that goes through this point fixed, the body can have any amount of rotation around that vector. So in principle, the body's orientation is some point on a toroidal 2 manifold inside the 3 manifold of all orientations. In general, the object will follow a non periodic path on this torus, but it may follow a periodic path. The time taken for to complete one cycle around its track in the body frame is constant, but after a cycle the body will have rotated by an amount that may not be a rational number of degrees, in which case the orientation will not be periodic, but almost periodic. In general a torus is almost determined by three parameters: the ratios of the second and third moments of inertia to the highest of the three moments of inertia, and the ratio relating the angular momentum to the energy times the highest moment of inertia. But for any such a set of parameters there are two tori, because there are two "tacos" (corresponding to two polhodes). A set of 180° rotations carries any orientation of one torus into an orientation of the other with the opposite point aligned with the angular momentum vector. If the angular momentum is exactly aligned with a principal axes, the torus degenerates into a single loop. If exactly two moments of inertia are equal (a so called symmetric body), then in addition to tori there will be an infinite number of loops, and if all three moments of inertia are equal, there will be loops but no tori. If the three moments of inertia are all different and but the intermediate axis is not aligned with the angular momentum, then the orientation will be some point on a topological open annulus.
Особый случай
В общем случае вращения несимметричного тела, которое имеет разные значения момента инерции вокруг трех основных осей, вращательное движение может быть довольно сложным, если тело не вращается вокруг основной оси. Как описано в теореме теннисной ракеты, вращение объекта вокруг его первой или третьей основной оси стабильно, в то время как вращение вокруг его второй основной оси (или промежуточной оси) - нет. Движение упрощается в случае с осесимметричным телом, в котором момент инерции одинаков по двум основным осям. Эти случаи включают вращение пролата-сфероида (форма американского футбола) или вращение облат-сфероида (форма сплющенной сферы). В этом случае угловая скорость описывает конус, а полирод - круг. Этот анализ применим, например, к осевой прецессии вращения планеты (в случае с плоским сфероидом).
Приложения
Одно из применений конструкции Понсо - визуализация вращения космического корабля на орбите.