Введение

Преобразует уравнения для численного решения В математике, предварительная кондиционирование - это применение преобразования, называемого предварительным условием, которое обусловливает данную проблему в форму, которая более подходит для методов численного решения. Предварительная подготовка обычно связана с уменьшением числа условий задачи. Затем предварительная задача обычно решается итеративным методом.

Предварительные условия для линейных систем

В линейной алгебре и численном анализе предварительным условием матрицы является матрица, которая имеет меньшее число условий, чем , так как сама по себе редко доступна. В современном предварительном обустройстве применение , т. е. умножение вектора столбца или блока векторов столбца на , обычно выполняется без матрицы, т. е. где ни , ни (а часто даже не) явно доступны в форме матрицы. Предварительные условия полезны в итеративных методах решения линейной системы, поскольку скорость конвергенции для большинства итеративных линейных решений увеличивается, потому что число условий матрицы уменьшается в результате предварительного обустройства. Предварительные итеративные решители обычно превосходят прямые решители, например, гауссовское устранение, для больших, особенно для редких матриц. Итеративные растворители могут использоваться как матричные методы, т. е. стать единственным выбором, если матрица коэффициентов не хранится явно, но доступна путем оценки векторных продуктов матрицы.

Геометрическая интерпретация

Для симметричной положительно определенной матрицы предварительный условный элемент обычно выбирается также как симметричный положительно определенный. Предварительный оператор тогда также симметричен положительно определенным, но относительно основанного скалярного произведения. В этом случае желаемый эффект при применении предварительного условия заключается в том, чтобы квадратическая форма предварительного оператора по отношению к основанному скалярному произведению была почти сферической.

Переменная и нелинейная предварительная подготовка

Обозначая , мы подчеркиваем, что предварительная кондиционирование практически реализуется как умножение некоторого вектора на , т. е. вычисление произведения Во многих приложениях, не дается как матрица, а скорее как оператор, действующий на вектор Некоторые популярные предварительные кондиционирования, однако, изменяются с и зависимость от может быть не линейной. Типичные примеры включают использование нелинейных итеративных методов, например, метода конъюгированного градиента, как части конструкции предварительного обусловления. Такие предварительные условия могут быть практически очень эффективными, однако их поведение трудно предсказать теоретически.

Случайная предварительная подготовка

Одним из интересных конкретных случаев переменного предварительного обустройства является случайное предварительное обустройство, например, многосетевое предварительное обустройство на случайных грубых сетях. Если использовать в методах градиентного спуска, случайное предварительное обустройство можно рассматривать как реализацию стохастического градиентного спуска и может привести к более быстрому сближению по сравнению с фиксированным предварительным обустройством, поскольку оно нарушает асимптотическую "зиг-заг" модель градиентного спуска.

Спектроэквивалентная предварительная обработка

Наиболее распространенным применением предварительного обусловления является итеративное решение линейных систем, получаемых из приближений частичных дифференциальных уравнений. Чем лучше качество приближения, тем больше размер матрицы. В таком случае целью оптимального предварительного обусловления является, с одной стороны, сделать число спектрального состояния от, ограниченное сверху постоянной, независимой от размера матрицы, что называется спектрально эквивалентным предварительным обусловлением Д'Яконова. С другой стороны, стоимость применения матрицы должна быть пропорциональна (также независимо от размера матрицы) стоимости умножения на вектор.

Прекондиционер Jacobi (или диагональный)

Предварительный кондиционер Якоби - одна из простейших форм предварительного кондиционирования, в которой предварительный кондиционер выбирается как диагональ матрицы. Предполагая , мы получаем , что он эффективен для диагонально доминирующих матриц. Он используется в программном обеспечении для анализа проблем с пучками или 1 D (EX: STAAD. Профессиональный

Испанская

Спарсовый приближенный инверсный предварительный кондиционер минимизирует норму Фробениуса и исходит из некоторого подходящего ограниченного набора редких матриц. В соответствии с нормой Фробена это сводится к решению многочисленных независимых задач наименьших квадратов (одна для каждого столбца). Входные данные должны быть ограничены некоторой редкостью, иначе задача остается такой же сложной и трудоемкой, как и поиск точной обратной части метода, введенного М. Дж. Гроутом и Т. Гакле вместе с подходом к выбору редкостных моделей.

Предварительные условия для задач собственных значений

Проблемы собственной стоимости могут быть сформулированы несколькими альтернативными способами, каждый из которых приводит к собственному предварительным условиям. Традиционное предварительное обустройство основано на так называемых спектральных преобразованиях. Зная (приблизительно) целевое собственное значение, можно вычислить соответствующий собственный вектор, решив соответствующую однородную линейную систему, что позволяет использовать предварительные условия для линейной системы. Наконец, формулирование собственноценовой задачи как оптимизация коечника Рэйли приводит к использованию предварительных методов оптимизации.

Спектровые преобразования

По аналогии с линейными системами, для задачи собственных значений можно попытаться заменить матрицу матрицей с использованием предварительного условия. Однако это имеет смысл только в том случае, если и ищут собственные векторы и те же самые. Это относится к спектральным преобразованиям. Наиболее популярной спектральной трансформацией является так называемая смена и инвертная трансформация, где для данного скаляра , называемого смещением, исходная проблема собственных значений заменяется проблемой смещения и инвертации. Эгенвекторы сохраняются, и можно решить проблему смещения и инвертации итеративным решителем, например, итерацией мощности. Это дает обратную итерацию, которая обычно сходится к собственному вектору, соответствующему собственному значению, наиболее близкому к сдвигу Итерация коэффициента Рэйли - это метод сдвига и инверта с переменным сдвигом. Спектральные преобразования специфичны для задач собственных значений и не имеют аналогов для линейных систем. Они требуют точного численного расчета связанных преобразований, что становится главным узким местом для больших проблем.

Общая предварительная подготовка

Чтобы установить тесную связь с линейными системами, предположим, что целевое собственное значение известно (приблизительно). Затем можно вычислить соответствующий собственный вектор из однородной линейной системы Используя концепцию левого предварительного обусловления для линейных систем, мы получаем , где предварительный обусловлитель, который мы можем попытаться решить, используя итерацию Ричардсона ==== Идеальное предварительное обусловление В этом случае предварительно обусловленный градиент направлен ближе к точке крайней точки, как на рисунке, что ускоряет конвергенцию.