Введение

Техника визуализации сложных функций В комплексном анализе цветовое доменное окрашивание или график цветового колеса - это техника визуализации сложных функций путем присвоения цвета каждой точке сложной плоскости. Присвоение точек на сложной плоскости различным цветам и яркости позволяет получить функцию от сложной плоскости к самой себе, график которой обычно требует четырех пространственных измерений, чтобы быть легко представленным и понятным. Это дает представление о текучести сложных функций и показывает естественные геометрические расширения реальных функций.

Мотивация

График реальной функции может быть нарисован в двух измерениях, потому что есть две представленные переменные, и, однако, комплексные числа представлены двумя переменными и, следовательно, двумя измерениями; это означает, что для представления сложной функции (точнее, сложной оцененной функции одной сложной переменной) требуется визуализация четырех измерений. Один из способов достичь этого - с помощью поверхности Римана, но другой метод - цветопеределка домена.

История

Термин "окрашивание домена" был придуман Фрэнком Фаррисом, возможно, около 1998 года. Было много ранних применений цвета для визуализации сложных функций, как правило, отображая аргумент (фазу) в оттенке. Ларри Кроун использовал этот метод в конце 1980-х годов. Дан Куцеровский использовал его в 1990 году. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек от домена к кодомену или плоскости изображения была использована в 1999 году Джорджем Абдо и Полом Годфри, а цветные сетки использовались в графике Дагом Арнольдом, которая датируется 1997 годом.

Метод

Представление четырехмерного сложного отображения с только двумя переменными нежелательно, поскольку такие методы, как проекции, могут привести к потере информации. Однако можно добавить переменные, которые сохраняют четырехмерный процесс без необходимости визуализации четырех измерений. В этом случае две добавленные переменные являются визуальными входами, такими как цвет и яркость, потому что они, естественно, являются двумя переменными, легко обрабатываемыми и различаемыми человеческим глазом. Это задание называется "цветной функцией". Используется много различных цветовых функций. Обычная практика состоит в том, чтобы представлять сложный аргумент, , (также известный как "фаза" или "угол") с оттенком, следующим за цветовым колесом, и величиной другими средствами, такими как яркость или насыщенность.

Непрерывная смена цвета

Многие цветовые графики имеют прерывистые, где вместо равномерного изменения яркости и цвета, он внезапно меняется, даже когда сама функция все еще гладкая. Это делается по разным причинам, например, для показа большей детализации или подчеркивания определенных аспектов функции, таких как наборы уровней.

Увеличение величины

В отличие от аргумента, который имеет конечный диапазон, величина комплексного числа может варьироваться от 0 до ∞. Поэтому в функциях с большими диапазонами величин изменения величин иногда трудно дифференцировать, когда на графике также изображено очень большое изменение. Это можно исправить с помощью дисконтинентной цветовой функции, которая показывает повторяющуюся модель яркости для величины, основанную на заданном уравнении. Это позволяет легко видеть как небольшие изменения, так и большие изменения, которые "непрерывно перепрыгивают" на более высокую величину. На графике справа эти разрывы происходят в кругах вокруг центра и показывают затемнение графика, которое затем может снова стать ярче. Аналогичная цветовая функция была использована для графика в верхней части статьи. Уравнения, определяющие прерывистые, могут быть линейными, например, для каждого целого числа величины, экспоненциальные уравнения, такие как каждый размер, где n - целое число, или любое другое уравнение.

Выделяющие свойства

Непрерывности могут быть размещены там, где выходы имеют определенное свойство, чтобы выделить, какие части графа имеют это свойство. Например, вместо того, чтобы показать цвет синий, граф может перейти от зеленого к сине. Это вызывает прерывистость, которую легко обнаружить, и может выделять линии, такие как, где аргумент равен нулю. Непрерывность может также влиять на большие части графа, например, на график, где цветовое колесо разделяет график на квадранты. Таким образом, легко показать, где каждый квадрант заканчивается отношениями с другими.

Ограничения

Люди, страдающие цветовой слепотой, могут испытывать трудности с интерпретацией таких графиков, когда они сделаны с помощью стандартных цветовых карт. Эта проблема может быть уменьшена путем создания альтернативных версий с использованием цветовых карт, которые вписываются в цветовое пространство, различимое для тех, кто страдает цветовой слепотой. Например, для использования людьми с полной деутеранопией, цветовая карта, основанная на синем/сером/желтом, может быть более читаемой, чем обычная карта, основанная на синем/зеленом/красном.