График частотной характеристики системы управления (Bode plot)

Введение

График частотной характеристики системы управления

В электротехнике и теории управления график Боде — это график частотной характеристики системы. Обычно он представляет собой комбинацию графика амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), показывающего величину (обычно в децибелах) частотной характеристики, и графика фазо-частотной характеристики (ФЧХ), показывающего фазовый сдвиг. Как первоначально было предложено Хендриком Уэйдом Боде в 1930-х годах, график является асимптотическим приближением частотной характеристики, построенным с использованием прямых отрезков.

Обзор

Среди его многочисленных важных вкладов в теорию цепей и теорию управления, инженер Хендрик Уэйд Боде, работая в Bell Labs в 1930-х годах, разработал простой, но точный метод для построения графиков зависимости усиления и фазового сдвига. Эти графики носят его имя: характеристика усиления Боде и характеристика фазы Боде. "Bode" часто произносится как /ˈboʊdi/ BOHdee, хотя нидерландское произношение – Bo duh. Боде столкнулся с задачей проектирования стабильных усилителей с обратной связью для использования в телефонных сетях. Он разработал графический метод проектирования, использующий характеристики Боде, для определения запаса по усилению и запаса по фазе, необходимых для поддержания стабильности при изменениях параметров схемы, возникающих в процессе производства или эксплуатации. Разработанные принципы были применены к задачам проектирования сервомеханизмов и других систем управления с обратной связью. Характеристика Боде является примером анализа в частотной области.

Определение

График Боде для линейной стационарной системы с передаточной функцией (где — комплексная частота в области Лапласа) состоит из графика амплитуды и графика фазы. График амплитуды Боде — это график функции от частоты (где — мнимая единица). Ось графика амплитуды логарифмическая, а амплитуда выражается в децибелах, то есть значение амплитуды наносится на ось при . График фазы Боде представляет собой график фазы передаточной функции, обычно выраженной в градусах, как функции от . Фаза наносится на ту же логарифмическую ось, что и график амплитуды, но значение фазы наносится на линейную вертикальную ось.

Нормальный график

Горизонтальная ось частоты, как на графиках амплитуды, так и на графиках фазы, может быть заменена нормализованным (безразмерным) отношением частот. В этом случае график называется нормализованным, и единицы измерения частоты больше не используются, так как все входные частоты теперь выражаются в виде кратных частоте среза.

Пример с нулем и полюсом

На рисунках 2–5 дополнительно иллюстрируется построение графиков Боде. Этот пример, включающий как полюс, так и нуль, демонстрирует, как использовать принцип суперпозиции. Для начала компоненты представлены по отдельности. На рисунке 2 показан график амплитуды Боде для нуля и полюса нижних частот, который сравнивается с асимптотическими графиками Боде. Асимптотические графики горизонтальны до частоты расположения полюса (нуля), а затем снижаются (возрастают) на 20 дБ/декаду. На рисунке 3 аналогичное представление сделано для фазы. Фазовые графики горизонтальны до частоты, в десять раз меньшей частоты расположения полюса (нуля), а затем снижаются (возрастают) на 45°/декаду до тех пор, пока частота не станет в десять раз больше частоты расположения полюса (нуля). Затем графики снова становятся горизонтальными на более высоких частотах, достигая общего изменения фазы в 90°. На рисунках 4 и 5 показано, как выполняется суперпозиция (простое сложение) графиков полюса и нуля. Асимптотические графики Боде снова сравниваются с точными графиками. Нуль был сдвинут на более высокую частоту, чем полюс, чтобы создать более показательный пример. Обратите внимание на рисунке 4, что снижение амплитуды полюса на 20 дБ/декаду компенсируется повышением амплитуды нуля на 20 дБ/декаду, что приводит к горизонтальному графику амплитуды для частот выше частоты расположения нуля. Обратите внимание на рисунке 5, что асимптотическое приближение фазы достаточно приблизительно в области, где и полюс, и нуль влияют на фазу. Также обратите внимание на рисунке 5, что диапазон частот, в котором фаза изменяется на асимптотическом графике, ограничен частотами, в десять раз превышающими и меньшими частоты расположения полюса (нуля). Когда фазы полюса и нуля присутствуют одновременно, асимптотический график фазы становится горизонтальным, поскольку снижение фазы полюса на 45°/декаду компенсируется перекрывающимся повышением фазы нуля на 45°/декаду в ограниченном диапазоне частот, где оба активно влияют на фазу.

Примеры использования графиков Боде

На рисунках 6 и 7 показаны характеристики усиления и соответствующая терминология. Для усилителя третьего порядка на рисунке 6 сравниваются диаграммы Боде для усиления без обратной связи (коэффициент усиления разомкнутого контура) AOL и усиления с обратной связью AFB (коэффициент усиления замкнутого контура). Подробности см. в разделе «Усилитель с отрицательной обратной связью». В этом примере AOL = 100 дБ на низких частотах, а 1 / β = 58 дБ. На низких частотах AFB ≈ 58 дБ. Поскольку на графике отображается коэффициент усиления AOL разомкнутого контура, а не произведение β AOL, условие AOL = 1 / β определяет f0 дБ. Коэффициент усиления с обратной связью на низких частотах и при больших значениях AOL составляет AFB ≈ 1 / β (см. формулу для коэффициента усиления с обратной связью в начале этого раздела для случая больших значений AOL), поэтому эквивалентный способ определения f0 дБ — найти точку пересечения кривых коэффициента усиления с обратной связью и разомкнутого контура. (Частота f0 дБ потребуется позже для определения фазового запаса.) Вблизи этой точки пересечения двух коэффициентов усиления при f0 дБ критерии Баркхаузена почти выполняются в этом примере, и усилитель с обратной связью демонстрирует значительный пик усиления (он был бы бесконечным, если бы β AOL = −1). После частоты единичного усиления f0 дБ коэффициент усиления разомкнутого контура достаточно мал, чтобы AFB ≈ AOL (изучите формулу в начале этого раздела для случая малых значений AOL). На рисунке 7 показано соответствующее сравнение фаз: фаза усилителя с обратной связью почти равна нулю до частоты f180, при которой коэффициент усиления разомкнутого контура имеет фазу −180°. Вблизи этой частоты фаза усилителя с обратной связью резко падает вниз, приближаясь к фазе усилителя разомкнутого контура. (Напомним, что AFB ≈ AOL для малых значений AOL.) Сравнивая отмеченные точки на рисунках 6 и 7, можно увидеть, что частота единичного усиления f0 дБ и частота изменения фазы f180 очень близки друг к другу в этом усилителе: f180 ≈ f0 дБ ≈ 3,332 кГц, что означает, что запас по усилению и фазовый запас почти равны нулю. Усилитель находится на границе стабильности. На рисунках 8 и 9 показаны запас по усилению и фазовый запас для другого значения обратной связи β. Коэффициент обратной связи выбирается меньше, чем на рисунках 6 или 7, что смещает условие | β AOL | = 1 к более низкой частоте. В этом примере 1 / β = 77 дБ, и на низких частотах AFB ≈ 77 дБ. На рисунке 8 показана диаграмма усиления. Из рисунка 8 видно, что пересечение кривых 1 / β и AOL происходит при f0 дБ = 1 кГц. Обратите внимание, что пик усиления AFB вблизи f0 дБ почти исчез. На рисунке 9 представлена фазовая диаграмма. Используя значение f0 дБ = 1 кГц, полученное выше из диаграммы амплитуды на рисунке 8, фаза разомкнутого контура при f0 дБ составляет −135°, что соответствует фазовому запасу 45° выше −180°. Используя рисунок 9, при фазе −180° значение f180 = 3,332 кГц (что, конечно, соответствует ранее полученному результату). Коэффициент усиления разомкнутого контура на рисунке 8 при f180 составляет 58 дБ, а 1 / β = 77 дБ, поэтому запас по усилению составляет 19 дБ. Стабильность — не единственный критерий оценки характеристик усилителя, и во многих приложениях более строгим требованием, чем стабильность, является хороший переходный отклик. Как правило, для хорошего переходного отклика требуется фазовый запас не менее 45°, а часто рекомендуется запас более 70°, особенно в тех случаях, когда изменение компонентов из-за производственных допусков является проблемой. См. также обсуждение фазового запаса в статье о переходном отклике.

Figures 6 and 7 illustrate the gain behavior and terminology. For a three pole amplifier, Figure 6 compares the Bode plot for the gain without feedback (the open loop gain) AOL with the gain with feedback AFB (the closed loop gain). See negative feedback amplifier for more detail. In this example, AOL = 100 dB at low frequencies, and 1 / β = 58 dB. At low frequencies, AFB ≈ 58 dB as well. Because the open loop gain AOL is plotted and not the product β AOL, the condition AOL = 1 / β decides f0 dB. The feedback gain at low frequencies and for large AOL is AFB ≈ 1 / β (look at the formula for the feedback gain at the beginning of this section for the case of large gain AOL), so an equivalent way to find f0 dB is to look where the feedback gain intersects the open loop gain. (Frequency f0 dB is needed later to find the phase margin.) Near this crossover of the two gains at f0 dB, the Barkhausen criteria are almost satisfied in this example, and the feedback amplifier exhibits a massive peak in gain (it would be infinity if β AOL = −1). Beyond the unity gain frequency f0 dB, the open loop gain is sufficiently small that AFB ≈ AOL (examine the formula at the beginning of this section for the case of small AOL). Figure 7 shows the corresponding phase comparison: the phase of the feedback amplifier is nearly zero out to the frequency f180 where the open loop gain has a phase of −180°. In this vicinity, the phase of the feedback amplifier plunges abruptly downward to become almost the same as the phase of the open loop amplifier. (Recall, AFB ≈ AOL for small AOL.) Comparing the labeled points in Figure 6 and Figure 7, it is seen that the unity gain frequency f0 dB and the phase flip frequency f180 are very nearly equal in this amplifier, f180 ≈ f0 dB ≈ 3.332 kHz, which means the gain margin and phase margin are nearly zero. The amplifier is borderline stable. Figures 8 and 9 illustrate the gain margin and phase margin for a different amount of feedback β. The feedback factor is chosen smaller than in Figure 6 or 7, moving the condition | β AOL | = 1 to lower frequency. In this example, 1 / β = 77 dB, and at low frequencies AFB ≈ 77 dB as well. Figure 8 shows the gain plot. From Figure 8, the intersection of 1 / β and AOL occurs at f0 dB = 1 kHz. Notice that the peak in the gain AFB near f0 dB is almost gone. Figure 9 is the phase plot. Using the value of f0 dB = 1 kHz found above from the magnitude plot of Figure 8, the open loop phase at f0 dB is −135°, which is a phase margin of 45° above −180°. Using Figure 9, for a phase of −180° the value of f180 = 3.332 kHz (the same result as found earlier, of course). The open loop gain from Figure 8 at f180 is 58 dB, and 1 / β = 77 dB, so the gain margin is 19 dB. Stability is not the sole criterion for amplifier response, and in many applications a more stringent demand than stability is good step response. As a rule of thumb, good step response requires a phase margin of at least 45°, and often a margin of over 70° is advocated, particularly where component variation due to manufacturing tolerances is an issue. See also the discussion of phase margin in the step response article.

Планер бода

Бодский анализатор – это электронный прибор, похожий на осциллограф, который строит диаграмму Боде, или график, показывающий зависимость усиления напряжения или фазового сдвига цепи от частоты в системе управления с обратной связью или фильтре. Пример этого представлен на рисунке 10. Он чрезвычайно полезен для анализа и тестирования фильтров, а также для оценки стабильности систем управления с обратной связью, посредством измерения угловых (частот среза) и запасов по усилению и фазе. Это аналогично функциональности векторного анализатора цепей, однако векторный анализатор обычно применяется на гораздо более высоких частотах. В учебных и исследовательских целях построение диаграмм Боде для заданных передаточных функций способствует лучшему пониманию и более быстрому получению результатов (см. внешние ссылки).

Связанные участки

Два связанных графика, отображающих одни и те же данные в различных системах координат, — это диаграмма Найквиста и диаграмма Никольса. Это параметрические графики, где частота является входным параметром, а амплитуда и фаза частотной характеристики — выходными. Диаграмма Найквиста отображает эти значения в полярных координатах, где амплитуда соответствует радиусу, а фаза — углу (аргументу). Диаграмма Никольса отображает эти значения в прямоугольных координатах, в логарифмическом масштабе.