Введение

Математическая модель – это абстрактное описание конкретной системы с использованием математических понятий и языка. Процесс разработки математической модели называется математическим моделированием. Математические модели применяются в прикладной математике, естественных науках (таких как физика, биология, науки о Земле, химия) и инженерных дисциплинах (таких как информатика, электротехника), а также в нефизических системах, например, в социальных науках (таких как экономика, психология, социология, политология). Математическое моделирование также может преподаваться как самостоятельный предмет. Широко используется математическое моделирование и в операционных исследованиях для решения задач бизнеса или военных действий. Математические модели находят применение в музыке, лингвистике и философии (в частности, в аналитической философии). Модель может помочь объяснить систему, изучить влияние отдельных компонентов и прогнозировать её поведение.

Строительство

В бизнесе и инженерии математические модели могут использоваться для максимизации определенного показателя. Рассматриваемой системе потребуются определенные входные данные. Система, связывающая входные данные с выходными, зависит также от других переменных: переменных решения, переменных состояния, экзогенных переменных и случайных переменных. Переменные решения иногда называют независимыми переменными. Экзогенные переменные иногда называют параметрами или константами. Переменные не являются независимыми друг от друга, поскольку переменные состояния зависят от переменных решения, входных данных, случайных и экзогенных переменных. Более того, выходные переменные зависят от состояния системы (представленного переменными состояния). Цели и ограничения системы и ее пользователей могут быть представлены в виде функций выходных переменных или переменных состояния. Целевые функции будут зависеть от точки зрения пользователя модели. В зависимости от контекста, целевая функция также известна как индекс эффективности, поскольку это некоторая интересующая пользователя величина. Хотя количество целевых функций и ограничений, которые может иметь модель, не ограничено, использование или оптимизация модели становится более сложной (в вычислительном отношении) с увеличением их числа. Например, экономисты часто применяют линейную алгебру при использовании моделей "затраты-выпуски". Сложные математические модели с большим количеством переменных могут быть упрощены с помощью векторов, где один символ представляет несколько переменных.

Предварительная информация

Проблемы математического моделирования часто классифицируются на модели «черного ящика» или «белого ящика» в зависимости от объема априорной информации о системе, которая имеется в наличии. Модель «черного ящика» – это система, об которой нет доступной априорной информации. Модель «белого ящика» (также называемая «стеклянным ящиком» или «прозрачным ящиком») – это система, для которой доступна вся необходимая информация. Практически все системы находятся где-то между моделями «черного ящика» и «белого ящика», поэтому эта концепция полезна лишь как интуитивное руководство при выборе подхода. Обычно предпочтительнее использовать как можно больше априорной информации, чтобы повысить точность модели. Поэтому модели «белого ящика» обычно считаются более простыми, поскольку при правильном использовании информации модель будет вести себя корректно. Часто априорная информация представлена в виде знания о типе функций, связывающих различные переменные. Например, при создании модели действия лекарственного препарата в организме человека мы знаем, что количество лекарства в крови обычно описывается экспоненциально убывающей функцией, однако остается несколько неизвестных параметров: с какой скоростью убывает количество лекарства и каково его начальное количество в крови? Следовательно, этот пример не является полностью моделью «белого ящика». Эти параметры необходимо оценить каким-либо способом, прежде чем можно будет использовать модель. В моделях «черного ящика» пытаются оценить как функциональную форму связей между переменными, так и численные параметры в этих функциях. Используя априорную информацию, можно, например, получить набор функций, которые, вероятно, адекватно описывают систему. Если априорной информации нет, то стараются использовать максимально общие функции, чтобы охватить все возможные модели. Часто используемым подходом для моделей «черного ящика» являются нейронные сети, которые обычно не делают предположений о входных данных. В качестве альтернативы можно использовать алгоритмы NARMAX (модель нелинейной авторегрессии скользящего среднего с экзогенными входами), разработанные в рамках идентификации нелинейных систем, для выбора членов модели, определения структуры модели и оценки неизвестных параметров в присутствии коррелированного и нелинейного шума. Преимущество моделей NARMAX перед нейронными сетями заключается в том, что NARMAX создает модели, которые можно записать и связать с лежащим в основе процессом, в то время как нейронные сети создают приближение, которое непрозрачно.

Субъективная информация

Иногда полезно включать субъективную информацию в математическую модель. Это можно сделать, опираясь на интуицию, опыт, мнение экспертов или удобство математической формы. Байесовская статистика предоставляет теоретическую основу для включения подобной субъективности в строгий анализ: мы задаём априорное распределение вероятностей (которое может быть субъективным), а затем обновляем это распределение на основе эмпирических данных. Пример ситуации, когда такой подход необходим, – это когда экспериментатор слегка согнул монету и подбросил её один раз, зафиксировав, выпала ли она орлом, а затем ему ставится задача предсказать вероятность выпадения орла при следующем подбрасывании. После того, как монета была согнута, истинная вероятность выпадения орла неизвестна; поэтому экспериментатору необходимо принять решение (возможно, оценив форму монеты) о том, какое априорное распределение использовать. Включение такой субъективной информации может быть важным для получения точной оценки вероятности.

Сложность

В целом, сложность модели предполагает компромисс между простотой и точностью. Бритва Оккама – это принцип, особенно важный для моделирования, заключающийся в том, что среди моделей с примерно одинаковой предсказательной силой наиболее предпочтительной является самая простая. Хотя увеличение сложности обычно повышает реалистичность модели, оно может затруднить её понимание и анализ, а также привести к вычислительным проблемам, включая численную неустойчивость. Томас Кун утверждает, что по мере развития науки объяснения, как правило, становятся сложнее, прежде чем смена парадигмы предложит радикальное упрощение. Например, при моделировании полёта самолёта мы могли бы включить в модель каждую механическую деталь самолёта, получив тем самым почти «белую ящик»-модель системы. Однако вычислительные затраты на добавление такого огромного количества деталей фактически сделают использование такой модели невозможным. Кроме того, неопределённость возрастёт из-за чрезмерной сложности системы, поскольку каждая отдельная часть вносит определённую долю вариативности в модель. Поэтому обычно целесообразно делать некоторые упрощения, чтобы привести модель к разумному размеру. Инженеры часто готовы принять некоторые приближения, чтобы получить более надёжную и простую модель. Например, классическая механика Ньютона – это приближённая модель реального мира. Тем не менее, модель Ньютона вполне достаточна для большинства повседневных ситуаций, то есть до тех пор, пока скорости частиц значительно ниже скорости света и мы изучаем только макрочастицы. Важно отметить, что более высокая точность не обязательно означает лучшую модель. Статистические модели подвержены переобучению, то есть модель слишком сильно подстраивается под данные и теряет способность обобщать новые события, которые ранее не наблюдались.

Обучение, настройка и установка

Любая модель, которая не является полностью прозрачной (белым ящиком), содержит некоторые параметры, которые можно использовать для подгонки модели к описываемой системе. Если моделирование выполняется с помощью искусственной нейронной сети или других методов машинного обучения, оптимизация параметров называется обучением, а оптимизация гиперпараметров модели – настройкой, которая часто использует кросс-валидацию. В более традиционном моделировании, основанном на явно заданных математических функциях, параметры часто определяются методом подгонки кривых.

Оценка и оценка

Важной частью процесса моделирования является оценка того, насколько точно данная математическая модель описывает систему. Ответить на этот вопрос может быть сложно, так как это предполагает несколько различных видов оценки.

Прогнозирование эмпирических данных

Обычно, самая простая часть оценки модели — проверка того, предсказывает ли модель экспериментальные измерения или другие эмпирические данные, не использовавшиеся при разработке модели. В моделях с параметрами распространенный подход заключается в разделении данных на два непересекающихся подмножества: обучающие данные и проверочные данные. Обучающие данные используются для оценки параметров модели. Точная модель будет хорошо соответствовать проверочным данным, даже если эти данные не использовались для определения параметров модели. Эта практика называется перекрестной проверкой (кросс-валидацией) в статистике. Определение метрики для измерения расхождений между наблюдаемыми и предсказанными данными является полезным инструментом для оценки качества подгонки модели. В статистике, теории принятия решений и некоторых экономических моделях функция потерь играет аналогичную роль. Хотя проверить адекватность параметров относительно просто, проверить обоснованность общей математической формы модели может быть сложнее. В целом, для проверки качества подгонки статистических моделей разработано больше математических инструментов, чем для моделей, включающих дифференциальные уравнения. Инструменты непараметрической статистики иногда могут использоваться для оценки того, насколько хорошо данные соответствуют известному распределению, или для создания общей модели, которая делает лишь минимальные предположения о математической форме модели.

Область применения модели

Оценка области применимости модели, то есть определение того, к каким ситуациям модель применима, может быть не такой очевидной задачей. Если модель была построена на основе набора данных, необходимо определить, для каких систем или ситуаций эти данные можно считать "типичными". Вопрос о том, насколько хорошо модель описывает свойства системы между известными точками данных, называется интерполяцией, а аналогичный вопрос, касающийся событий или точек данных, выходящих за пределы наблюдаемых данных, – экстраполяцией. В качестве примера типичных ограничений области применимости модели, рассмотрим ньютоновскую классическую механику: Ньютон проводил свои измерения без использования современного оборудования, поэтому не мог измерять свойства частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Кроме того, он изучал движение макроскопических частиц, а не молекул и других мелких объектов. Поэтому неудивительно, что его модель плохо экстраполируется в эти области, хотя для описания обычной физической реальности она вполне достаточна.

Философские соображения

Многие типы моделирования неявно включают утверждения о причинности. Это обычно (но не всегда) верно для моделей, включающих дифференциальные уравнения. Поскольку цель моделирования состоит в том, чтобы углубить наше понимание мира, обоснованность модели основывается не только на ее соответствии эмпирическим наблюдениям, но и на ее способности к экстраполяции на ситуации или данные, выходящие за рамки первоначально описанных в модели. Это можно рассматривать как различие между качественными и количественными прогнозами. Можно также утверждать, что модель бесполезна, если она не предоставляет новых знаний, выходящих за рамки того, что уже известно из непосредственного изучения изучаемого явления. Примером такой критики является утверждение, что математические модели оптимальной теории поиска пищи не дают понимания, превосходящего здравый смысл, вытекающий из эволюции и других базовых принципов экологии. Следует также отметить, что, хотя математическое моделирование использует математические концепции и язык, оно само по себе не является ветвью математики и не обязательно подчиняется математической логике, но обычно является частью той или иной науки или технической дисциплины, с соответствующими понятиями и стандартами аргументации. Еще одна простая задача — предсказать положение транспортного средства, исходя из его начального положения, направления и скорости движения, используя уравнение, согласно которому пройденное расстояние равно произведению времени и скорости. Это известно как определение местоположения по пеленгу (или «мертвый расчет»), когда используется в более формальном контексте. Математическое моделирование таким образом не обязательно требует формальных математических знаний; было показано, что животные используют определение местоположения по пеленгу. Рост популяции. Простая (хотя и приближенная) модель роста популяции — это модель роста Мальтуса. Немного более реалистичной и широко используемой моделью роста популяции является логистическая функция и ее обобщения. Модель частицы в потенциальном поле. В этой модели мы рассматриваем частицу как материальную точку, описывающую траекторию в пространстве, которая моделируется функцией, определяющей ее координаты в пространстве как функцию времени. Потенциальное поле задается функцией, а траектория, то есть функция, является решением дифференциального уравнения: которое также можно записать в виде. Следует отметить, что эта модель предполагает, что частица является точечной массой, что, безусловно, неверно во многих случаях, когда мы используем эту модель; например, в качестве модели движения планет. Модель рационального поведения потребителя. В этой модели мы предполагаем, что потребитель сталкивается с выбором из товаров, каждый из которых обозначен рыночной ценой . Предполагается, что потребитель имеет ординальную функцию полезности (ординарную в том смысле, что важен только знак разницы между двумя уровнями полезности, а не абсолютный уровень каждой из них), зависящую от количества потребляемых товаров . Модель далее предполагает, что у потребителя есть бюджет , который используется для приобретения вектора таким образом, чтобы максимизировать . Тогда задача рационального поведения в этой модели становится задачей математической оптимизации, то есть: при условии: Эта модель использовалась в самых разных экономических контекстах, например, в теории общего равновесия для доказательства существования и эффективности Парето экономических равновесий. Модель зондирования окрестности — это модель, объясняющая образование грибов из изначально хаотичной грибковой сети. В информатике математические модели могут использоваться для моделирования компьютерных сетей. В механике математические модели могут использоваться для анализа движения модели ракеты.

Специфические применения

Пападимитриу, Фивос. (2010). Математическое моделирование пространственных экологических комплексных систем: оценка. География, Окружающая среда, Устойчивость, 1(3), 67–80. «Введение в моделирование инфекционных заболеваний» Эмилии Винницки и Ричарда Г. Уайта.