Введение
Масса частицы при взаимодействии с другими частицами
отрицательная масса в теоретической физике
negative mass in theoretical physics
В физике твердого тела эффективная масса частицы (часто обозначаемая как ) – это масса, которую частица, по-видимому, приобретает при воздействии сил, или масса, которую она, по-видимому, имеет при взаимодействии с другими идентичными частицами в тепловом распределении. Одним из результатов теории зон твердых тел является то, что движение частиц в периодическом потенциале на больших расстояниях, превышающих межатомное расстояние, может существенно отличаться от их движения в вакууме. Эффективная масса – это величина, используемая для упрощения зонной структуры путем моделирования поведения свободной частицы с этой массой. Для определенных целей и материалов эффективную массу можно рассматривать как простую константу материала. Однако в общем случае значение эффективной массы зависит от области применения и может изменяться в зависимости от ряда факторов. Для электронов или электронных дырок в твердом теле эффективная масса обычно выражается как множитель к массе покоя электрона, me (9,11 × 10−31 кг). Этот множитель обычно находится в диапазоне от 0,01 до 10, но может быть как меньше, так и больше – например, достигая 1000 в экзотических материалах с тяжелыми фермионами или изменяясь от нуля до бесконечности (в зависимости от определения) в графене. Поскольку эффективная масса упрощает более общую теорию зон, ее можно рассматривать как важный фундаментальный параметр, влияющий на измеримые свойства твердого тела, включая все – от эффективности солнечного элемента до скорости интегральной схемы.
Простой случай: параболическое, изотропное отношение дисперсии
На самых высоких энергиях валентной зоны во многих полупроводниках (Ge, Si, GaAs, …), и на самых низких энергиях зоны проводимости в некоторых полупроводниках (GaAs, …), зонная структура E(k) может быть локально аппроксимирована как
где E(k) – энергия электрона с волновым вектором k в данной зоне, E₀ – константа, определяющая край зоны, а m* – константа (эффективная масса). Можно показать, что электроны, находящиеся в этих зонах, ведут себя как свободные электроны, за исключением того, что их масса отличается, при условии, что их энергия остается в пределах применимости указанного приближения. Следовательно, масса электрона в моделях, таких как модель Друде, должна быть заменена на эффективную массу. Одно из замечательных свойств заключается в том, что эффективная масса может становиться отрицательной, когда зона искривляется вниз от максимума. В результате отрицательной массы электроны реагируют на электрические и магнитные силы, приобретая скорость в направлении, противоположном обычному; даже несмотря на то, что эти электроны имеют отрицательный заряд, они движутся по траекториям, как если бы имели положительный заряд (и положительную массу). Это объясняет существование дырок валентной зоны – квазичастиц с положительным зарядом и положительной массой, которые можно встретить в полупроводниках. В любом случае, если зонная структура имеет простую параболическую форму, описанную выше, то значение эффективной массы является однозначным. К сожалению, эта параболическая форма неприменима для описания большинства материалов. В таких сложных материалах не существует единого определения «эффективной массы», а вместо этого существует множество определений, каждое из которых подходит для конкретной цели. Дальнейшая часть статьи посвящена детальному рассмотрению этих эффективных масс.
Эффективная масса циклотрона
Классически заряженная частица в магнитном поле движется по спирали вдоль оси магнитного поля. Период T её движения зависит от массы m и заряда e, где B – магнитная индукция. Для частиц в асимметричных зонных структурах, частица больше не движется точно по спирали, однако её движение, перпендикулярное магнитному полю, всё ещё совершается в замкнутом контуре (не обязательно окружности). Более того, время, необходимое для завершения одного из этих контуров, всё ещё обратно пропорционально магнитному полю, и поэтому можно определить эффективную циклотронную массу по измеренному периоду, используя приведенное выше уравнение. Полуклассическое движение частицы можно описать замкнутым контуром в k-пространстве. На протяжении всего этого контура частица сохраняет постоянную энергию, а также постоянный импульс вдоль оси магнитного поля. Определим A как площадь в k-пространстве, ограниченную этим контуром (эта площадь зависит от энергии E, направления магнитного поля и волнового вектора kB на оси), тогда можно показать, что эффективная циклотронная масса зависит от зонной структуры через производную этой площади по энергии:
where B is the magnetic flux density. For particles in asymmetrical band structures, the particle no longer moves exactly in a helix, however its motion transverse to the magnetic field still moves in a closed loop (not necessarily a circle). Moreover, the time to complete one of these loops still varies inversely with magnetic field, and so it is possible to define a cyclotron effective mass from the measured period, using the above equation. The semiclassical motion of the particle can be described by a closed loop in k space. Throughout this loop, the particle maintains a constant energy, as well as a constant momentum along the magnetic field axis. By defining A to be the 'k' space area enclosed by this loop (this area depends on the energy E, the direction of the magnetic field, and the on axis wavevector kB), then it can be shown that the cyclotron effective mass depends on the band structure via the derivative of this area in energy:
Typically, experiments that measure cyclotron motion (cyclotron resonance, De Haas–Van Alphen effect, etc.) are restricted to only probe motion for energies near the Fermi level. In two dimensional electron gases, the cyclotron effective mass is defined only for one magnetic field direction (perpendicular) and the out of plane wavevector drops out. The cyclotron effective mass therefore is only a function of energy, and it turns out to be exactly related to the density of states at that energy via the relation , where gv is the valley degeneracy. Such a simple relationship does not apply in three dimensional materials.
Как правило, эксперименты, измеряющие циклотронное движение (циклотронный резонанс, эффект Де-Хааса — Ван-Альфена и т. д.), ограничены исследованием движения только для энергий вблизи уровня Ферми. В двухмерных электронных газах эффективная циклотронная масса определяется только для одного направления магнитного поля (перпендикулярного), а внеплоскостная компонента волнового вектора не учитывается. Следовательно, эффективная циклотронная масса является функцией только энергии и оказывается точно связана с плотностью состояний при этой энергии соотношением , где gv – вырождение долины. Такая простая зависимость не применима к трехмерным материалам.
where B is the magnetic flux density. For particles in asymmetrical band structures, the particle no longer moves exactly in a helix, however its motion transverse to the magnetic field still moves in a closed loop (not necessarily a circle). Moreover, the time to complete one of these loops still varies inversely with magnetic field, and so it is possible to define a cyclotron effective mass from the measured period, using the above equation. The semiclassical motion of the particle can be described by a closed loop in k space. Throughout this loop, the particle maintains a constant energy, as well as a constant momentum along the magnetic field axis. By defining A to be the 'k' space area enclosed by this loop (this area depends on the energy E, the direction of the magnetic field, and the on axis wavevector kB), then it can be shown that the cyclotron effective mass depends on the band structure via the derivative of this area in energy:
Typically, experiments that measure cyclotron motion (cyclotron resonance, De Haas–Van Alphen effect, etc.) are restricted to only probe motion for energies near the Fermi level. In two dimensional electron gases, the cyclotron effective mass is defined only for one magnetic field direction (perpendicular) and the out of plane wavevector drops out. The cyclotron effective mass therefore is only a function of energy, and it turns out to be exactly related to the density of states at that energy via the relation , where gv is the valley degeneracy. Such a simple relationship does not apply in three dimensional materials.
Теоретические
Различные теоретические методы, включая теорию функционала плотности, k·p-теорию возмущений и другие, используются для дополнения и подтверждения различных экспериментальных измерений, описанных в предыдущем разделе, а также для их интерпретации, аппроксимации и экстраполяции. Некоторые из этих теоретических методов также могут применяться для расчетов эффективной массы с нуля, без использования каких-либо экспериментальных данных, например, для изучения материалов, которые еще не синтезированы в лабораторных условиях.
Значение
Эффективная масса используется в расчетах переноса, таких как перенос электронов под воздействием полей или градиентов концентрации носителей, но также применяется для вычисления плотности носителей и плотности состояний в полупроводниках. Эти массы взаимосвязаны, но, как было объяснено в предыдущих разделах, не идентичны, поскольку вклад различных направлений и волновых векторов различен. Эти различия важны, например, в термоэлектрических материалах, где одновременно требуется высокая проводимость, обычно связанная с малой массой, и высокий коэффициент Зеебека, обычно связанный с большой массой. Для оценки электронной структуры различных материалов в этом контексте разработаны соответствующие методы. Определенные соединения группы III–V, такие как арсенид галлия (GaAs) и антимонид индия (InSb), имеют значительно меньшую эффективную массу, чем тетраэдрические материалы группы IV, такие как кремний и германий. В простейшей друдовской модели электронного транспорта максимальная достижимая скорость носителей заряда обратно пропорциональна эффективной массе: , где – элементарный электрический заряд. Предельная скорость интегральных схем зависит от скорости носителей, поэтому малая эффективная масса является фундаментальной причиной использования GaAs и его производных вместо Si в высокоскоростных приложениях, таких как сотовая связь. В апреле 2017 года исследователи из Университета штата Вашингтон заявили о создании жидкости с отрицательной эффективной массой внутри конденсата Бозе–Эйнштейна путем конструирования дисперсионного соотношения.