Введение
В математике теорема об изоморфизме Орнштейна является глубоким результатом в эргодической теории. В ней говорится, что если две схемы Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова, то они изоморфны. Результат, данный Дональдом Орнштейном в 1970 году, важен, потому что он утверждает, что многие системы, ранее считавшиеся не связанными, на самом деле изоморфны; они включают в себя все конечные стационарные стохастические процессы, включая цепочки Маркова и подсмещения конечного типа, потоки Аносова и бильярд Синая, эргодические автоморфизмы n тора и непрерывное преобразование дробей.
Обсуждение
Теорема на самом деле представляет собой набор связанных теорем. Первая теорема гласит, что если два разных смещения Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова, то они изоморфны как динамические системы. Третья теорема распространяет этот результат на потоки: а именно, что существует такой поток, который является смещением Бернулли. Четвертая теорема гласит, что для заданной фиксированной энтропии этот поток уникален, до постоянного переувеличения времени. Пятая теорема гласит, что существует один, уникальный поток (до постоянного переустройства времени), который имеет бесконечную энтропию. Фраза "до постоянного переустройства времени" означает просто, что если и являются двумя потоками Бернулли с одинаковой энтропией, то для некоторой постоянной c. Развитие также включало доказательства того, что факторы сдвигов Бернулли изоморфны сдвигам Бернулли, и дало критерии для данной меры, сохраняющей динамическую систему, чтобы быть изоморфной сдвигу Бернулли. Одно из последствий этих результатов - решение корневой проблемы для сдвигов Бернулли: так, например, при сдвиге T, есть другой сдвиг, который изоморфен к нему.
История
Вопрос об изоморфизме датируется фон Нейманом, который спросил, являются ли две схемы Бернулли BS ((1/2, 1/2) и BS ((1/3, 1/3, 1/3) изоморфными или нет. В 1959 году, Я. Синай и Колмогоров ответили отрицательно, показав, что две разные схемы не могут быть изоморфными, если у них нет одинаковой энтропии. В частности, они показали, что энтропия схемы Бернулли BS ((p1, p2, , pn) дается теоремой изоморфизма Орнштейна, доказанной Дональдом Орнштейном в 1970 году, которая гласит, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией являются изоморфными. Результат резкий, поскольку очень похожие, не схематические системы не имеют этого свойства; в частности, существуют системы Колмогорова с одинаковой энтропией, которые не являются изоморфными. Орнштейн получил премию Боше за эту работу. Упрощенное доказательство теоремы изоморфизма для символических схем Бернулли было дано Майкл С. Кин и М. Смородинским в 1979 году.
The Ornstein isomorphism theorem, proved by Donald Ornstein in 1970, states that two Bernoulli schemes with the same entropy are isomorphic. The result is sharp, in that very similar, non scheme systems do not have this property; specifically, there exist Kolmogorov systems with the same entropy that are not isomorphic. Ornstein received the Bôcher prize for this work. A simplified proof of the isomorphism theorem for symbolic Bernoulli schemes was given by Michael S. Keane and M. Smorodinsky in 1979.