Введение
Энтропия в геометрии и топологии В математике топологическая энтропия топологической динамической системы - это неотрицательное расширенное реальное число, которое является мерой сложности системы. Топологическая энтропия была впервые введена в 1965 году Адлером, Конгейм и МакЭндрю. Их определение было смоделировано по определению КолмогороваСинай, или метрической энтропии. Позже Динабург и Руфус Боуэн дали другое, более слабое определение, напоминающее измерение Хаусдорфа. Второе определение уточнило значение топологической энтропии: для системы, данной итерационной функцией, топологическая энтропия представляет собой показательную скорость роста числа различаемых орбит итератов. Важный вариационный принцип связывает понятия топологической и теоретической энтропии.
In mathematics, the topological entropy of a topological dynamical system is a nonnegative extended real number that is a measure of the complexity of the system. Topological entropy was first introduced in 1965 by Adler, Konheim and McAndrew. Their definition was modelled after the definition of the Kolmogorov–Sinai, or metric entropy. Later, Dinaburg and Rufus Bowen gave a different, weaker definition reminiscent of the Hausdorff dimension. The second definition clarified the meaning of the topological entropy: for a system given by an iterated function, the topological entropy represents the exponential growth rate of the number of distinguishable orbits of the iterates. An important variational principle relates the notions of topological and measure theoretic entropy.
Определение
Топологическая динамическая система состоит из топологического пространства Хаусдорфа X (обычно считается компактным) и непрерывной самокарты f: X → X. Его топологическая энтропия является неотрицательным расширенным действительным числом, которое может быть определено различными способами, которые, как известно, эквивалентны.
Интерпретация
Части C можно рассматривать как символы, которые (частично) описывают положение точки x в X: всем точкам x ∈ Ci присваивается символ Ci Представьте, что положение x (несовершенно) измеряется определенным устройством и что каждая часть C соответствует одному возможному результату измерения. затем представляет собой логарифм минимального числа "слов" длины n, необходимых для кодирования точек X в соответствии с поведением их первых n − 1 итераций под f, или, иначе говоря, общее количество "сценариев" поведения этих итераций, как "видимо" разделом C. Таким образом, топологическая энтропия является средним (на итерацию) количеством информации, необходимой для описания длительных итераций карты f.
Определение Боуэна и Динабурга
В этом определении используется метрика на X (на самом деле, достаточно однородной структуры). Это более узкое определение, чем у Адлера, Конгейма и МакЭндрю, поскольку оно требует дополнительной метрической структуры на топологическом пространстве (но независимо от выбора метрик, генерирующих данную топологию). Однако на практике топологическую энтропию Боуэна Динабурга обычно гораздо легче рассчитать. Пусть (X, d) является компактным метрическим пространством, а f: X → X - непрерывной картой. Для каждого натурального числа n, новая метрика dn определяется на X по формуле При любых ε > 0 и n ≥ 1, две точки X близки ε по отношению к этой метрике, если их первые n итераций близки ε. Эта метрика позволяет различать в окрестностях орбиты точки, которые удаляются друг от друга во время итерации, от точек, которые движутся вместе. Подмножество E из X называется разделенным (n, ε), если каждая пара отдельных точек E находится по меньшей мере ε от одного другого в метрике dn. Определите N{\displaystyle N} , ε) максимальной кардинальностью (n, ε) разделенного множества. Топологическая энтропия карты f определяется
Given any ε > 0 and n ≥ 1, two points of X are ε close with respect to this metric if their first n iterates are ε close. This metric allows one to distinguish in a neighborhood of an orbit the points that move away from each other during the iteration from the points that travel together. A subset E of X is said to be (n, ε) separated if each pair of distinct points of E is at least ε apart in the metric dn. Denote by N(n, ε) the maximum cardinality of an (n, ε) separated set. The topological entropy of the map f is defined by
Интерпретация
Поскольку X компактна, N ((n, ε) конечна и представляет собой число различаемых сегментов орбиты длиной n, предполагая, что мы не можем различать точки внутри ε друг от друга. Простой аргумент показывает, что предел, определяющий h ((f), всегда существует в расширенной реальной прямой (но может быть бесконечным). Этот предел может быть истолкован как мера среднего экспоненциального роста числа различаемых сегментов орбиты. В этом смысле она измеряет сложность топологической динамической системы (X, f). Руфус Боуэн расширил это определение топологической энтропии таким образом, что позволяет X быть некомпактным при предположении, что карта f равномерно непрерывна.
Свойства
Топологическая энтропия является инвариантом топологических динамических систем, что означает, что она сохраняется топологической конъюгацией. Пусть будет экспансивным гомеоморфизмом компактного метрического пространства и пусть будет топологическим генератором. Тогда топологическая энтропия относительно равна топологической энтропии , т.е. давайте будем непрерывным преобразованием компактного метрического пространства , давайте будем теоретической энтропией относительно и давайте будем множеством всех инвариантных мер вероятности Бореля на X. Тогда вариационный принцип энтропии гласит, что в общем максимум величин в множестве не достигается, но если дополнительно карта энтропии является верхней полунепрерывной, то мера максимальной энтропии, означающая меру в с существует. Если у него уникальная мера максимальной энтропии , то он эргодический по отношению к .
Let be a continuous transformation of a compact metric space , let be the measure theoretic entropy of with respect to and let be the set of all invariant Borel probability measures on X. Then the variational principle for entropy states that
In general the maximum of the quantities over the set is not attained, but if additionally the entropy map is upper semicontinuous, then a measure of maximal entropy meaning a measure in with exists. If has a unique measure of maximal entropy , then is ergodic with respect to .
Примеры
Пусть by обозначает полный двусторонний k-сдвиг на символах, пусть обозначает разделение на цилиндры длиной 1. Тогда является разделение для всех и количество наборов соответственно. Перегородки открытые крышки и топологический генератор. Следовательно, мера теоретической энтропии меры Бернулли также является мерой максимальной энтропии. Далее можно показать, что других мер максимальной энтропии не существует. Пусть будет неснижаемой матрицей с входами и пусть будет соответствующим подсдвигом конечного типа. Тогда где самая большая положительная собственная величина ?