Введение
Часть математики, которая рассматривает стабильность решений ветвь теории моделей В математике теория стабильности рассматривает стабильность решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при небольших возмущениях начальных условий. Уравнение тепла, например, является стабильным уравнением частичных дифференциалов, потому что небольшие возмущения исходных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате принципа максимума. В частичных дифференциальных уравнениях можно измерить расстояние между функциями, используя нормы Lp или норму sup, в то время как в дифференциальной геометрии можно измерить расстояние между пространствами, используя расстояние Громова Хаусдорфа. В динамических системах орбита называется стабильной по Ляпунову, если передняя орбита любой точки находится в достаточно маленьком районе или она остается в маленьком (но, возможно, большем) районе. Разработаны различные критерии для доказательства стабильности или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах вопрос может быть сведен к хорошо изученной проблеме, связанной с собственными значениями матриц. Более общий метод включает функции Ляпунова. На практике применяется любой из ряда различных критериев стабильности.
the branch of model theory
In mathematics, stability theory addresses the stability of solutions of differential equations and of trajectories of dynamical systems under small perturbations of initial conditions. The heat equation, for example, is a stable partial differential equation because small perturbations of initial data lead to small variations in temperature at a later time as a result of the maximum principle. In partial differential equations one may measure the distances between functions using Lp norms or the sup norm, while in differential geometry one may measure the distance between spaces using the Gromov–Hausdorff distance. In dynamical systems, an orbit is called Lyapunov stable if the forward orbit of any point is in a small enough neighborhood or it stays in a small (but perhaps, larger) neighborhood. Various criteria have been developed to prove stability or instability of an orbit. Under favorable circumstances, the question may be reduced to a well studied problem involving eigenvalues of matrices. A more general method involves Lyapunov functions. In practice, any one of a number of different stability criteria are applied.
Стабильность фиксированных точек в 2D
Парадигматический случай - это стабильность происхождения в линейном автономном дифференциальном уравнении, где и является матрицей 2 на 2. Иногда мы выполняем изменение основы для некоторой инвертируемой матрицы, которая дает нам, скажем, "в новой основе". Поскольку и , мы можем классифицировать стабильность происхождения с помощью и , при свободном использовании изменения основы.
Поток с сохранением площади
Когда, у нас есть, так поток является сохранение площади. В этом случае тип потока классифицируется по If , тогда это вращение ("нейтральная стабильность") вокруг источника. Если это так, то это пересечение потока. Если , то начало - седло.
If , then it is a rotation ("neutral stability") around the origin. If , then it is a shearing flow. If , then the origin is a saddle point.
Стабильность фиксированных точек
Простейший вид орбиты - фиксированная точка или равновесие. Если механическая система находится в стабильном состоянии равновесия, то небольшое толчок приведет к локализованному движению, например, небольшим колебаниям, как в случае маятника. В системе с демпингом, стабильное состояние равновесия, кроме того, асимптотически стабильно. С другой стороны, для нестабильного равновесия, такого как мяч, лежащий на вершине холма, определенные небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может или не может сходиться с исходным состоянием. Существуют полезные тесты стабильности для линейной системы. Стабильность нелинейной системы часто можно сделать вывод из стабильности ее линеаризации.
Функция Ляпунова для общих динамических систем
Общий способ установления стабильности Ляпунова или асимптотической стабильности динамической системы - это с помощью функций Ляпунова.