Введение
В направленной статистике распределение фон Мизеса Фишера (названное в честь Ричарда фон Мизеса и Рональда Фишера) - распределение вероятности на сфере в случае, если распределение сводится к распределению фон Мизеса на круге.
the distribution reduces to the von Mises distribution on the circle.
Ожидаемое значение
Ожидаемое значение распределения фон Мизеса-Фишера не находится на гиперсфере единицы, а имеет длину менее одного. Эта длина дается как определено выше. Для распределения Фон Мизеса-Фишера со средним направлением и концентрацией ожидаемое значение: Для , ожидаемое значение находится на начале. Для конечных , длина ожидаемого значения строго между нулем и единицей и является монотонной восходящей функцией эмпирического среднего значения (арифметического среднего значения) набора точек на единице гиперсферы ведет себя аналогичным образом, будучи близким к источнику для широко распространенных данных и близким к сфере для концентрированных данных. Действительно, для распределения Фон Мизеса-Фишера ожидаемое значение оценки максимальной вероятности, основанной на наборе точек, равно эмпирической средней из этих точек.
For , the expected value is at the origin. For finite , the length of the expected value is strictly between zero and one and is a monotonic rising function of
The empirical mean (arithmetic average) of a collection of points on the unit hypersphere behaves in a similar manner, being close to the origin for widely spread data and close to the sphere for concentrated data. Indeed, for the Von Mises–Fisher distribution, the expected value of the maximum likelihood estimate based on a collection of points is equal to the empirical mean of those points.
Преобразование
Распределения Фон Мизеса Фишера (VMF) закрыты при ортогональных линейных преобразованиях. Пусть это будет a-пассиональная матрица. Пусть и применим обратимую линейную трансформацию: обратная трансформация , потому что обратная ортогональной матрицы является ее транспозицией: Якобиан трансформации , для которой абсолютное значение ее детерминанты равно 1, также из-за ортогональности. Используя эти факты и форму плотности VMF, следует, что: можно проверить, что поскольку и являются единичными векторами, то по ортогональности, так же и .
One may verify that since and are unit vectors, then by the orthogonality, so are and .
Равномерное распределение гиперсфер
Когда , распределение Фон Мизеса Фишера, упрощается до равномерного распределения, плотность постоянна с значением Псевдослучайные образцы могут быть получены путем получения образцов из стандартного многовариантного нормального распределения, после чего нормализация на единичную норму.
Маргинальный компонент равномерного распределения
Для , пусть будет любой компонент предельного распределения для имеет плотность: где функция бета. Это распределение можно лучше понять, выделив его отношение к бета-распределению: где формула дублирования Лежендра полезна для понимания отношений между константами нормализации различных плотностей выше. Следует отметить, что компоненты не являются независимыми, так что равномерная плотность не является произведением предельных плотностей; и не может быть собран независимым отбором образцов компонентов.
where is the beta function. This distribution may be better understood by highlighting its relation to the beta distribution:
where the Legendre duplication formula is useful to understand the relationships between the normalization constants of the various densities above. Note that the components of are not independent, so that the uniform density is not the product of the marginal densities; and cannot be assembled by independent sampling of the components.
Распределение точечных продуктов
В машинном обучении, особенно в классификации изображений, классифицируемые входы (например, изображения) часто сравниваются с использованием сходства косинуса, которое является точечным произведением между промежуточными представлениями в форме единичных векторов (называемых встраиваниями). Размерность обычно высока, по крайней мере, несколько сотен. Глубокие нейронные сети, которые извлекают встраивания для классификации, должны научиться распределять классы как можно дальше друг от друга, и в идеале это должно давать классы, которые равномерно распределены по всему классу. Для лучшего статистического понимания сходства косинусов между классами может быть полезно распределение точечных продуктов между единичными векторами, независимо отобранными из равномерного распределения. Пусть будут единичные векторы в , независимо отобранные из равномерного распределения. Определите: где точка произведения и где преобразованные версии этого. Тогда распределение для равно распределению предельных компонентов, приведенному выше;) имеет плотность, поддерживаемую на многообразии Стифеля ортонормальных p-кадров , где является произвольной реальной матрицей.
where is the dot product and are transformed versions of it. Then the distribution for is the same as the marginal component distribution given above;) has the density
supported on the Stiefel manifold of orthonormal p frames , where is an arbitrary real matrix.
Распределение пил
Ульрих, при разработке алгоритма выборки из распределения VMF, использует семейство распределений, названных в честь и исследованных Джоном Г. Сау. Распределение пилы - распределение на сфере, , с модальным вектором и концентрацией , и в котором функция плотности имеет форму: где неотрицательная, возрастающая функция; и где постоянная нормализации. Вышеупомянутое радиальное тангенциальное разложение обобщает семью пил и радиальный компонент, имеет плотность: где функция бета. Также обратите внимание, что левый фактор радиальной плотности - это площадь поверхности, на которой, установив , можно восстановить распределение VMF.
where is a non negative, increasing function; and where is the normalization constant. The above mentioned radial tangential decomposition generalizes to the Saw family and the radial compoment, has the density:
where is the beta function. Also notice that the left hand factor of the radial density is the surface area of
By setting , one recovers the VMF distribution.