Введение
Четыре основные неразрешенные проблемы простых чисел На Международном конгрессе математиков в 1912 году Эдмунд Ландау перечислил четыре основные проблемы простых чисел. Эти проблемы были охарактеризованы в его речи как "неприступные в нынешнем состоянии математики" и теперь известны как проблемы Ландау. Они следующие: Гипотеза Гольдбаха: может ли каждое четное целое число больше 2 быть написано как сумма двух простых чисел? Предположение о двойных простых числах: существует ли бесконечно много простых чисел p, так что p + 2 является простым? Предположение Лежендра: всегда ли существует хотя бы одно простое число между последовательными совершенными квадратами? Есть ли бесконечно много простых чисел p, таких, что p − 1 является совершенным квадратом? Другими словами: существует ли бесконечно много простых чисел формы n2 + 1? к 2024 году все четыре проблемы останутся нерешенными.
At the 1912 International Congress of Mathematicians, Edmund Landau listed four basic problems about prime numbers. These problems were characterised in his speech as "unattackable at the present state of mathematics" and are now known as Landau's problems. They are as follows:
Goldbach's conjecture: Can every even integer greater than 2 be written as the sum of two primes? Twin prime conjecture: Are there infinitely many primes p such that p + 2 is prime? Legendre's conjecture: Does there always exist at least one prime between consecutive perfect squares? Are there infinitely many primes p such that p − 1 is a perfect square? In other words: Are there infinitely many primes of the form n2 + 1? as of 2024, all four problems are unresolved.
Гипотеза Гольдбаха
Слабая гипотеза Гольдбаха, каждое нечётное число больше 5 может быть выражено как сумма трех простых чисел, является следствием гипотезы Гольдбаха. Иван Виноградов доказал это для достаточно больших n (теорема Виноградова) в 1937 году, а Харальд Хельфготт расширил это до полного доказательства слабой гипотезы Гольдбаха в 2013 году. Теорема Чена, еще одно ослабление гипотезы Гольдбаха, доказывает, что для всех достаточно больших n, где p - простый, а q - простый или полупростый. Бордигнон, Джонстон и Старичкова, исправляя и улучшая Ямаду, доказали явную версию теоремы Чэна: каждое четное число больше, чем сумма простых чисел и произведение не более двух простых чисел. Бордигнон и Старичкова уменьшают это, предполагая обобщенную гипотезу Римана (GRH) для функций Дирихле L. Джонсон и Старичкова дают версию, работающую для всех n >= 4 при стоимости использования числа, которое является произведением не более 369 простых чисел, а не простых или полупростых чисел; при GRH они улучшают 369 до 33. Монтгомери и Вон показали, что исключительный набор четных чисел, не выражаемых как сумма двух простых чисел, имеет плотность нуля, хотя набор не доказал, что он конечен. Лучшие текущие границы на исключительном наборе (для достаточно больших х) связаны с Пинцем, а под RH - с Голдстоном. Линник доказал, что достаточно большие четные числа могут быть выражены как сумма двух простых чисел и некоторой (неэффективной) постоянной K степеней 2. После многих улучшений (см. Пинц для обзора), Пинц и Рузса улучшили это до K = 8. При условии GRH это можно улучшить до K = 7.
Гипотеза двойного простых чисел
Итан Чжан показал, что существует бесконечно много пар простых чисел с разрывом, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до разрывов длиной 246 совместными усилиями проекта Polymath. В соответствии с обобщенной гипотезой Эллиотта-Хальберстама это было улучшено до 6, расширив более раннюю работу Мейнарда и Голдстона, Пинца и Йылдырима. Чен показал, что существует бесконечно много простых чисел p (позже названных простыми Чинами Чена), так что p + 2 является либо простым, либо полупростым.
Почти квадратные простые числа
Четвертая задача Ландау задавалась вопросом, существует ли бесконечно много простых чисел, которые имеют форму для целого числа n. (Список известных простых чисел этой формы - .) Существование бесконечно много таких простых чисел будет следовать вследствие других теоретических гипотез, таких как гипотеза Буняковского и гипотеза Бэтемана-Хорна. С 2023 года эта проблема остается открытой. Примером почти квадратных простых чисел являются простые числа Ферма. Генрик Иванец показал, что существует бесконечно много чисел формы, имеющих максимум два простых делителя. Анкени и Кубилиус доказали, что, исходя из расширенной гипотезы Римана для функций L на символах Гекка, существует бесконечно много простых чисел формы с гипотезой Ландау для сильнейшего. Лучший безусловный результат обусловлен Харманом и Льюисом, и это дает Мерикоски, улучшив предыдущие работы, показал, что существует бесконечно много чисел формы с наибольшим простым фактором по крайней мере. Замена показателя на 2 даст гипотезу Ландау. Теорема Фридлендера Иванеца показывает, что бесконечно много простых чисел имеет форму Байер и Чжао доказывают, что существует бесконечно много простых чисел формы с ; показатель может быть улучшен до под обобщенной гипотезой Римана для L функций и до под определенной гипотезой типа Эллиотта Халберстама. Сито Бруна устанавливает верхнюю границу плотности простых чисел, имеющих форму: существуют такие простые числа до . Следовательно, почти все числа формы являются составными.
Merikoski, improving on previous works, showed that there are infinitely many numbers of the form with greatest prime factor at least Replacing the exponent with 2 would yield Landau's conjecture. The Friedlander–Iwaniec theorem shows that infinitely many primes are of the form
Baier and Zhao prove that there are infinitely many primes of the form with ; the exponent can be improved to under the Generalized Riemann Hypothesis for L functions and to under a certain Elliott Halberstam type hypothesis. The Brun sieve establishes an upper bound on the density of primes having the form : there are such primes up to Hence almost all numbers of the form are composite.