Мировая линия: путь объекта в пространстве-времени

Введение

Уникальная траектория объекта в пространстве-времени

Мировая линия (или мировое линия) объекта – это путь, который объект описывает в четырёхмерном пространстве-времени. Это важное понятие современной физики, особенно теоретической физики. Понятие «мировая линия» отличается от таких понятий, как «орбита» или «траектория» (например, орбита планеты в пространстве или траектория автомобиля на дороге) включением измерения времени и обычно охватывает значительную область пространства-времени, где кажущиеся прямыми пути отображаются в виде кривых, чтобы показать их (относительно) более абсолютное состояние положения – и раскрыть природу специальной теории относительности или гравитационных взаимодействий. Идея мировых линий была предложена физиками и впервые разработана Германом Минковским. В настоящее время этот термин чаще всего используется в контексте теорий относительности (то есть специальной и общей теории относительности).

Применение в физике

Мировая линия объекта (обычно аппроксимируемая как точка в пространстве, например, частица или наблюдатель) — это последовательность событий пространства-времени, соответствующих истории объекта. Мировая линия — это особый тип кривой в пространстве-времени. Ниже будет приведено эквивалентное определение: мировая линия — это либо временноподобная, либо нулевая кривая в пространстве-времени. Каждая точка мировой линии — это событие, которое можно обозначить временем и пространственным положением объекта в данный момент времени. Например, орбита Земли в космосе приблизительно представляет собой окружность, трехмерную (замкнутую) кривую в пространстве: Земля каждый год возвращается в одну и ту же точку в пространстве относительно Солнца. Однако она прибывает туда в другое (более позднее) время. Следовательно, мировая линия Земли является спиральной в пространстве-времени (кривой в четырехмерном пространстве) и не возвращается в ту же точку. Пространство-время — это совокупность событий вместе с непрерывной и гладкой системой координат, идентифицирующих эти события. Каждое событие можно обозначить четырьмя числами: координатой времени и тремя пространственными координатами; таким образом, пространство-время является четырехмерным пространством. Математический термин для пространства-времени — четырехмерное многообразие (топологическое пространство, которое локально напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки). Эта концепция также применима к пространству более высоких измерений. Для облегчения визуализации четырех измерений часто подавляются две пространственные координаты. Тогда событие представляется точкой на диаграмме Минковского, которая обычно изображается как плоскость с координатой времени (например, t) по вертикали и координатой пространства (например, x) по горизонтали. Как выразил Ф. Р. Харви, кривая M в [пространстве-времени] называется мировой линией частицы, если ее касательный вектор в каждой точке является будущим временноподобным. Параметр длины дуги называется собственным временем и обычно обозначается τ. Длина M называется собственным временем частицы. Если мировая линия M является отрезком прямой, то считается, что частица находится в свободном падении. Мировая линия описывает траекторию одной точки в пространстве-времени. Мировой лист — это аналогичная двумерная поверхность, описываемая одномерной линией (например, струной), движущейся в пространстве-времени. Мировой лист открытой струны (с незамкнутыми концами) представляет собой полосу, а мировой лист замкнутой струны (кольца) напоминает трубку. Если объект не аппроксимируется как простая точка, а имеет конечный объем, он описывает не мировую линию, а скорее мировую трубку.

A world line of an object (generally approximated as a point in space, e. g., a particle or observer) is the sequence of spacetime events corresponding to the history of the object. A world line is a special type of curve in spacetime. Below an equivalent definition will be explained: A world line is either a time like or a null curve in spacetime. Each point of a world line is an event that can be labeled with the time and the spatial position of the object at that time. For example, the orbit of the Earth in space is approximately a circle, a three dimensional (closed) curve in space: the Earth returns every year to the same point in space relative to the sun. However, it arrives there at a different (later) time. The world line of the Earth is therefore helical in spacetime (a curve in a four dimensional space) and does not return to the same point. Spacetime is the collection of events, together with a continuous and smooth coordinate system identifying the events. Each event can be labeled by four numbers: a time coordinate and three space coordinates; thus spacetime is a four dimensional space. The mathematical term for spacetime is a four dimensional manifold (a topological space that locally resembles Euclidean space near each point). The concept may be applied as well to a higher dimensional space. For easy visualizations of four dimensions, two space coordinates are often suppressed. An event is then represented by a point in a Minkowski diagram, which is a plane usually plotted with the time coordinate, say , vertically, and the space coordinate, say , horizontally. As expressed by F. R. Harvey
A curve M in [spacetime] is called a worldline of a particle if its tangent is future timelike at each point. The arclength parameter is called proper time and usually denoted τ. The length of M is called the proper time of the particle. If the worldline M is a line segment, then the particle is said to be in free fall. A world line traces out the path of a single point in spacetime. A world sheet is the analogous two dimensional surface traced out by a one dimensional line (like a string) traveling through spacetime. The world sheet of an open string (with loose ends) is a strip; that of a closed string (a loop) resembles a tube. Once the object is not approximated as a mere point but has extended volume, it traces not a world line but rather a world tube.

Мировые линии как метод описания событий

Одномерная прямая или кривая может быть представлена координатами как функция одного параметра. Каждое значение параметра соответствует точке в пространстве-времени, а изменение параметра описывает линию. Таким образом, в математических терминах кривая определяется четырьмя координатными функциями (где обычно обозначает временную координату) зависящими от одного параметра. Координатная сетка в пространстве-времени – это множество кривых, получаемых при фиксации трех из четырех координатных функций на постоянных значениях. Иногда термин "мировая линия" неформально используется для любой кривой в пространстве-времени. Эта терминология может вводить в заблуждение. Более корректно, мировая линия – это кривая в пространстве-времени, описывающая (временную) историю частицы, наблюдателя или небольшого объекта. Обычно в качестве параметра кривой вдоль мировой линии используется собственное время объекта или наблюдателя.

Тривиальные примеры кривых пространства-времени

Кривая, состоящая из горизонтального сегмента (линии с постоянным временем), может представлять собой стержень в пространстве-времени и не являться мировой линией в строгом смысле. Параметр просто отслеживает длину стержня. Линия с постоянной пространственной координатой (вертикальная линия, согласно принятой выше конвенции) может представлять частицу в состоянии покоя (или неподвижного наблюдателя). Наклонная линия представляет частицу с постоянной координатной скоростью (постоянное изменение пространственной координаты при увеличении временной координаты). Чем больше линия отклоняется от вертикали, тем выше скорость. Две мировые линии, начинающиеся раздельно и затем пересекающиеся, указывают на столкновение или "встречу". Две мировые линии, начинающиеся в одном и том же событии в пространстве-времени, каждая из которых далее следует своим собственным путем, могут представлять, например, распад частицы на две другие или излучение одной частицы другой. Мировые линии частицы и наблюдателя могут быть соединены мировой линией фотона (траекторией света) и формировать диаграмму, изображающую излучение фотона частицей, который впоследствии наблюдается наблюдателем (или поглощается другой частицей).

Мировые линии в специальной теории относительности

До сих пор мировая линия (и понятие тангентных векторов) были описаны без средств для количественного определения интервала между событиями. Основные математические положения следующие: Теория специальной относительности накладывает определенные ограничения на возможные мировые линии. В специальной теории относительности описание пространства-времени ограничено специальными системами координат, которые не ускоряются (и, следовательно, не вращаются), называемыми инерциальными системами координат. В таких системах координат скорость света является постоянной. Структура пространства-времени определяется двулинейной формой η, которая присваивает действительное число каждой паре событий. Билинейную форму иногда называют метрикой пространства-времени, но поскольку для отдельных событий иногда получается нулевое значение, в отличие от метрик в математических метрических пространствах, эта двулинейная форма не является математической метрикой пространства-времени. Мировые линии свободно падающих частиц/объектов называются геодезическими. В специальной теории относительности это прямые линии в пространстве Минковского. Часто единицы времени выбираются таким образом, чтобы скорость света была представлена линиями под фиксированным углом, обычно 45 градусов, образующими конус с вертикальной (временной) осью. В общем случае полезные кривые в пространстве-времени могут быть трех типов (другие типы будут частично одного, частично другого типа): светоподобные кривые, имеющие в каждой точке скорость света. Они образуют конус в пространстве-времени, разделяя его на две части. Конус трехмерен в пространстве-времени, выглядит как линия на рисунках с двумя подавленными измерениями и как конус на рисунках с одним подавленным пространственным измерением. Временные кривые, со скоростью, меньшей скорости света. Эти кривые должны находиться внутри конуса, определяемого светоподобными кривыми. Согласно нашему определению выше: мировые линии – это временные кривые в пространстве-времени. Пространственные кривые, выходящие за пределы светового конуса. Такие кривые могут описывать, например, длину физического объекта. Окружность цилиндра и длина стержня являются пространственными кривыми. Для данного события на мировой линии пространство-время (пространство Минковского) разделяется на три части. Будущее данного события формируется всеми событиями, которые могут быть достигнуты по временным кривым, лежащим внутри будущего светового конуса. Прошлое данного события формируется всеми событиями, которые могут повлиять на это событие (то есть, которые могут быть связаны мировыми линиями внутри прошлого светового конуса с данным событием). Световой конус при данном событии формируется всеми событиями, которые могут быть связаны с этим событием через световые лучи. Когда мы наблюдаем ночное небо, мы видим в основном только прошлый световой конус во всем пространстве-времени. "Другие места" – это область между двумя световыми конусами. Точки в "других местах" для наблюдателя недоступны; только точки в прошлом могут посылать сигналы наблюдателю. В обычной лабораторной практике, используя общепринятые единицы и методы измерения, может показаться, что мы смотрим на настоящее, но на самом деле всегда существует задержка во времени, необходимая для распространения света. Например, мы видим Солнце таким, каким оно было около 8 минут назад, а не таким, каким оно есть "сейчас". В отличие от настоящего в Галилеево-Ньютоновской теории, "другие места" имеют толщину; это не трехмерный объем, а четырехмерная область пространства-времени. В "другие места" включена гиперплоскость одновременности, которая для данного наблюдателя определяется пространством, гиперболически ортогональным его мировой линии. Она действительно трехмерна, хотя на диаграмме она будет выглядеть как плоскость, поскольку нам пришлось исключить одно измерение, чтобы получить понятную картину. Хотя световые конусы одинаковы для всех наблюдателей в данном событии пространства-времени, разные наблюдатели, имеющие разные скорости, но совпадающие в событии (точке) в пространстве-времени, имеют мировые линии, пересекающиеся под углом, определяемым их относительными скоростями, и, следовательно, у них разные гиперплоскости одновременности. "Настоящее" часто означает единственное рассматриваемое событие пространства-времени.

So far a world line (and the concept of tangent vectors) has been described without a means of quantifying the interval between events. The basic mathematics is as follows: The theory of special relativity puts some constraints on possible world lines. In special relativity the description of spacetime is limited to special coordinate systems that do not accelerate (and so do not rotate either), termed inertial coordinate systems. In such coordinate systems, the speed of light is a constant. The structure of spacetime is determined by a bilinear form η, which gives a real number for each pair of events. The bilinear form is sometimes termed a spacetime metric, but since distinct events sometimes result in a zero value, unlike metrics in metric spaces of mathematics, the bilinear form is not a mathematical metric on spacetime. World lines of freely falling particles/objects are called geodesics. In special relativity these are straight lines in Minkowski space. Often the time units are chosen such that the speed of light is represented by lines at a fixed angle, usually at 45 degrees, forming a cone with the vertical (time) axis. In general, useful curves in spacetime can be of three types (the other types would be partly one, partly another type):

light like curves, having at each point the speed of light. They form a cone in spacetime, dividing it into two parts. The cone is three dimensional in spacetime, appears as a line in drawings with two dimensions suppressed, and as a cone in drawings with one spatial dimension suppressed. time like curves, with a speed less than the speed of light. These curves must fall within a cone defined by light like curves. In our definition above: world lines are time like curves in spacetime. space like curves falling outside the light cone. Such curves may describe, for example, the length of a physical object. The circumference of a cylinder and the length of a rod are space like curves. At a given event on a world line, spacetime (Minkowski space) is divided into three parts. The future of the given event is formed by all events that can be reached through time like curves lying within the future light cone. The past of the given event is formed by all events that can influence the event (that is, that can be connected by world lines within the past light cone to the given event). The lightcone at the given event is formed by all events that can be connected through light rays with the event. When we observe the sky at night, we basically see only the past light cone within the entire spacetime. Elsewhere is the region between the two light cones. Points in an observer's elsewhere are inaccessible to them; only points in the past can send signals to the observer. In ordinary laboratory experience, using common units and methods of measurement, it may seem that we look at the present, but in fact there is always a delay time for light to propagate. For example, we see the Sun as it was about 8 minutes ago, not as it is "right now". Unlike the present in Galilean/Newtonian theory, the elsewhere is thick; it is not a 3 dimensional volume but is instead a 4 dimensional spacetime region. Included in "elsewhere" is the simultaneous hyperplane, which is defined for a given observer by a space that is hyperbolic orthogonal to their world line. It is really three dimensional, though it would be a 2 plane in the diagram because we had to throw away one dimension to make an intelligible picture. Although the light cones are the same for all observers at a given spacetime event, different observers, with differing velocities but coincident at the event (point) in the spacetime, have world lines that cross each other at an angle determined by their relative velocities, and thus they have different simultaneous hyperplanes. The present often means the single spacetime event being considered.

Одновременная гиперплоскость

Поскольку мировая линия определяет 4-вектор скорости, который является времениподобным, форма Минковского определяет линейную функцию посредством. Пусть N — нулевое пространство этой линейной функциональности. Тогда N называется гиперплоскостью одновременности относительно v. Относительность одновременности заключается в утверждении, что N зависит от v. Действительно, N является ортогональным дополнением к v относительно η. Когда две мировые линии u и w связаны соотношением , они имеют одну и ту же гиперплоскость одновременности. Эта гиперплоскость существует математически, но физические соотношения в теории относительности включают в себя распространение информации со скоростью света. Например, традиционная электростатическая сила, описываемая законом Кулона, может быть представлена в гиперплоскости одновременности, но релятивистские соотношения для заряда и силы включают в себя запаздывающие потенциалы.

Мировые линии в общей теории относительности

Использование мировых линий в общей теории относительности в основном такое же, как и в специальной теории относительности, с той разницей, что пространство-время может быть искривлено. Существует метрика, динамика которой определяется уравнениями Эйнштейна и зависит от распределения энергии и массы в пространстве-времени. Метрика вновь определяет светоподобные (нулевые), пространственно-подобные и временные кривые. В общей теории относительности мировые линии включают в себя временные и нулевые кривые в пространстве-времени, при этом временные кривые лежат внутри светового конуса. Однако световой конус не обязательно наклонен под углом 45 градусов к оси времени. Это, однако, является артефактом выбранной системы координат и отражает координатную инвариантность (инвариантность относительно диффеоморфизмов) общей теории относительности. Для любой временной кривой можно определить сопутствующего наблюдателя, чья "ось времени" соответствует этой кривой, и поскольку ни один наблюдатель не является привилегированным, всегда можно найти локальную систему координат, в которой световые конусы наклонены под углом 45 градусов к оси времени. См., например, координаты Эддингтона — Финкельштейна. Мировые линии свободно падающих частиц или объектов (например, планет вокруг Солнца или астронавта в космосе) называются геодезическими.

Мировые линии в квантовой теории поля

Квантовая теория поля, являющаяся основой для описания всей современной физики частиц, обычно представляется как теория квантованных полей. Однако, хотя это и не получило широкого признания, известно с работ Фейнмана, что многие квантовые теории поля могут быть эквивалентно описаны в терминах мировых линий. Это было сделано до большей части его работы над формулировкой, которая впоследствии стала более стандартной. Формулировка квантовой теории поля на основе мировых линий оказалась особенно плодотворной для различных вычислений в калибровочных теориях и для описания нелинейных эффектов электромагнитных полей.