Введение

В теории чисел число Сирпинского — это нечётное натуральное число k, такое что 2<sup>n</sup> + k является составным для всех натуральных чисел n. В 1960 году Вацлав Сирпинский доказал, что существует бесконечно много нечётных целых чисел k, обладающих этим свойством. Иными словами, если k — число Сирпинского, то все элементы следующего множества являются составными:

Если форма вместо этого имеет вид 2<sup>n</sup> - k, то k — число Риселя.

Проблема Серпинского

Проблема Сирпинского заключается в определении наименьшего числа Сирпинского. В частной переписке с Полом Эрдошем Селфридж предположил, что 78 557 является наименьшим числом Сирпинского. Более мелких чисел Сирпинского обнаружено не было, и в настоящее время считается, что 78 557 – наименьшее такое число. Чтобы доказать, что 78 557 действительно является наименьшим числом Сирпинского, необходимо показать, что все нечётные числа, меньшие 78 557, не являются числами Сирпинского. То есть, для каждого нечётного k, меньшего 78 557, должно существовать положительное целое число n, такое что k * 2^n + 1 является простым числом. Наиболее недавно исключённым кандидатом было k = 10223, для которого простое число было найдено PrimeGrid в октябре 2016 года. Это число состоит из 9 383 761 цифры.

Проблема Прайма Серпинского

В 1976 году Натан Мендельсон установил, что второе доказанное число Серпинского — простое число k = 271129. Задача о простых числах Серпинского состоит в определении наименьшего простого числа Серпинского, и в настоящее время ведется «поиск простых чисел Серпинского», целью которого является доказательство того, что 271129 является первым числом Серпинского, которое также является простым. По состоянию на 2018 год девять простых значений k, меньших 271129, для которых не известно простого числа вида k⋅2<sup>n</sup> + 1, следующие:

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931 и 237019.

По состоянию на 2024 год для этих значений k не найдено ни одного простого числа. Первые два, будучи меньше 78557, также являются нерешенными случаями (непростой) задачи Серпинского, описанной выше. Наиболее недавно исключенным кандидатом было k = 168451, когда простое число было обнаружено PrimeGrid в сентябре 2017 года. Это число состоит из 5 832 522 цифр.

Расширенная проблема Серпинского

Предположим, что обе предыдущие задачи Сирпински были наконец решены, показав, что 78557 является наименьшим числом Сирпински, а 271129 – наименьшим простым числом Сирпински. Это всё ещё оставляет нерешённым вопрос о втором числе Сирпинского; может существовать составное число Сирпинского k, такое, что… Текущие поиски направлены на доказательство того, что 271129 является вторым числом Сирпинского, путём проверки всех значений k между 78557 и 271129, простых или составных. Решение расширенной задачи Сирпинского, наиболее сложной из трёх поставленных задач, требует исключения 21 оставшегося кандидата, из которых девять – простые (см. выше) и двенадцать – составные. Последние включают k = 21181, 24737, 55459 из исходной задачи Сирпинского. По состоянию на 2022 год, следующие восемь значений k, уникальных для расширенной задачи Сирпинского, остаются: k = 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673 и 238411. По состоянию на 2024 год, для этих значений k не было найдено простых делителей. В декабре 2019 года PrimeGrid обнаружил, что является простым числом, исключив k = 99739. Это число состоит из 4 220 176 цифр. Последнее исключение произошло в декабре 2021 года, когда PrimeGrid обнаружил, что является простым числом, исключив k = 202705. Это число состоит из 6 418 121 цифры.

Одновременно Сиерпинский и Ризель

Число может быть одновременно числом Серпинского и числом Риселя. Такие числа называются числами Бриера. Пять наименьших известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949.