Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Техника приближения в интегральном исчислении
Approximation technique in integral calculus
В математике, сумма Римана — это определенный вид приближения интеграла конечной суммой. Она названа в честь немецкого математика XIX века Бернарда Римана. Одно из наиболее распространенных применений — это численная интеграция, то есть приближенное вычисление площади под графиком функции, где она также известна как правило прямоугольников. Она также может применяться для приближенного вычисления длины кривых и других величин. Сумма вычисляется путем разбиения области на фигуры (прямоугольники, трапеции, параболы или кубические функции — иногда бесконечно малые), которые вместе образуют область, близкую к измеряемой области, затем вычисляется площадь для каждой из этих фигур и, наконец, все эти малые площади суммируются. Этот подход может быть использован для получения численного приближения определенного интеграла, даже если основная теорема исчисления не позволяет легко найти аналитическое решение. Поскольку область, образованная малыми фигурами, обычно не совпадает точно с измеряемой областью, сумма Римана будет отличаться от точного значения площади. Погрешность можно уменьшить, более детально разбивая область, используя все более мелкие фигуры. По мере уменьшения размеров фигур, сумма приближается к интегралу Римана.
In mathematics, a Riemann sum is a certain kind of approximation of an integral by a finite sum. It is named after nineteenth century German mathematician Bernhard Riemann. One very common application is in numerical integration, i. e., approximating the area of functions or lines on a graph, where it is also known as the rectangle rule. It can also be applied for approximating the length of curves and other approximations. The sum is calculated by partitioning the region into shapes (rectangles, trapezoids, parabolas, or cubics — sometimes infinitesimally small) that together form a region that is similar to the region being measured, then calculating the area for each of these shapes, and finally adding all of these small areas together. This approach can be used to find a numerical approximation for a definite integral even if the fundamental theorem of calculus does not make it easy to find a closed form solution. Because the region by the small shapes is usually not exactly the same shape as the region being measured, the Riemann sum will differ from the area being measured. This error can be reduced by dividing up the region more finely, using smaller and smaller shapes. As the shapes get smaller and smaller, the sum approaches the Riemann integral.
Двумерность
В двух измерениях область может быть разделена на некоторое количество двумерных ячеек, таких что каждая ячейка может быть интерпретирована как имеющая "площадь", обозначаемую . Двумерная сумма Римана имеет вид
In two dimensions, the domain may be divided into a number of two dimensional cells such that Each cell then can be interpreted as having an "area" denoted by The two dimensional Riemann sum is
где .
where .
Три измерения
В трех измерениях область разбивается на некоторое количество трехмерных ячеек, таких что каждая ячейка может быть интерпретирована как имеющая "объем", обозначаемый . Трехмерная сумма Римана выражается как
In three dimensions, the domain is partitioned into a number of three dimensional cells such that Each cell then can be interpreted as having a "volume" denoted by The three dimensional Riemann sum is
где .
where .
произвольное количество размеров
Высшие размерные суммы Римана следуют аналогичной схеме. n-мерная сумма Римана определяется как
Higher dimensional Riemann sums follow a similar pattern. An n dimensional Riemann sum is
где , то есть это точка в n-мерной ячейке с n-мерным объемом .
where , that is, it is a point in the n dimensional cell with n dimensional volume .