Кіріспе
Интегралды есептеудегі жақындау әдісі. Математикада Риман қосындысы – интегралды шекті қосындыға жақындатудың бір түрі. Ол XIX ғасырғы неміс математигі Бернхард Риманның құрметіне аталған. Оның кең таралған қолданысы – сандық интеграция, яғни графиктердегі функциялардың немесе сызықтардың ауданын шамалау, мұнда ол тіктөртбұрыш тәсілі деп те аталады. Бұл қисықтардың ұзындығын және басқа да шамалауларды анықтау үшін де қолданылуы мүмкін. Қосынды, өлшенетін аймаққа ұқсас аймақ құрайтын пішіндерге (тіктөртбұрыштар, трапециялар, параболалар немесе кубтар – кейде шексіз кішкентай) бөлу арқылы есептеледі, содан кейін әрбір пішіннің ауданы есептеліп, барлық кішкентай аудандар қосылады. Бұл тәсіл, егер интегралдың негізгі теоремасы жабық түрдегі шешім табуды жеңілдетпесе де, белгілі интеграл үшін сандық шамалауды табуға қолданылуы мүмкін. Кішкентай пішіндердің құрамындағы аймақ өлшенетін аймақтан әлдеқандай өзгеше болуы мүмкін болғандықтан, Риман қосындысы өлшенетін ауданнан айырмашылыққа ие болады. Бұл қателікті аймақты одан да кішкентай пішіндерге бөліп, осылайша нақтырақ анықтау арқылы азайтуға болады. Пішіндер кішірейген сайын, қосынды Риман интегралына жақындайды.
In mathematics, a Riemann sum is a certain kind of approximation of an integral by a finite sum. It is named after nineteenth century German mathematician Bernhard Riemann. One very common application is in numerical integration, i. e., approximating the area of functions or lines on a graph, where it is also known as the rectangle rule. It can also be applied for approximating the length of curves and other approximations. The sum is calculated by partitioning the region into shapes (rectangles, trapezoids, parabolas, or cubics — sometimes infinitesimally small) that together form a region that is similar to the region being measured, then calculating the area for each of these shapes, and finally adding all of these small areas together. This approach can be used to find a numerical approximation for a definite integral even if the fundamental theorem of calculus does not make it easy to find a closed form solution. Because the region by the small shapes is usually not exactly the same shape as the region being measured, the Riemann sum will differ from the area being measured. This error can be reduced by dividing up the region more finely, using smaller and smaller shapes. As the shapes get smaller and smaller, the sum approaches the Riemann integral.
Екі өлшемді
Екі өлшемді кеңістікте домен бірнеше екі өлшемді ұяшықтарға бөлінеді, мұнда әрбір ұяшықты "ауданы" деп белгіленетін белгілі бір шама ретінде қарастыруға болады. Екі өлшемді Риман қосындысы:
мұндағы .
Үш өлшемді
Үш өлшемді кеңістікте домен бірқатар үш өлшемді жасушаларға бөлінеді, осылайша әрбір жасушаның "көлемі" деп белгіленеді. Үш өлшемді Риман қосындысы:
мұндағы .
Өлшемі ерікті сан
Жоғары өлшемді Риман қосындылары да ұқсас үлгіні ұстанады. n өлшемді Риман қосындысы:
мұндағы , яғни, бұл n өлшемді ұяшықтағы n өлшемді көлемі бар нүкте.