Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Логика релевантности, также называемая релевантной логикой, является видом неклассической логики, требующей релевантной связи между антецедентом и консеквентом импликации. Её можно рассматривать как семейство субструктурных или модальных логик. Как правило, но не всегда, британские и, особенно, австралийские логики называют её соответствующей логикой, а американские – логикой релевантности. Логика релевантности стремится отразить аспекты импликации, игнорируемые оператором «материальной импликации» в классической функциональной логике истинности, а именно понятие релевантности между антецедентом и консеквентом истинной импликации. Эта идея не нова: К. И. Льюис был побужден изобрести модальную логику, и в частности строгую импликацию, из-за того, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложь влечет любое высказывание. Таким образом, «если я осел, то дважды два – четыре» истинно, если рассматривать это как материальную импликацию, но кажется интуитивно ложным, поскольку истинная импликация должна связывать антецедент и консеквент некоторой идеей релевантности. И то, является ли говорящий ослом, никак не связано с тем, равно ли дважды два четырем. В терминах синтаксического ограничения для пропозиционального исчисления необходимо, но недостаточно, чтобы посылки и заключение имели общие атомарные формулы (формулы, не содержащие логических связок). В исчислении предикатов релевантность требует совместного использования переменных и констант между посылками и заключением. Этого можно добиться (наряду с более строгими условиями), например, путем введения определенных ограничений на правила системы натурального вывода. В частности, натуральный вывод в стиле Фитча можно адаптировать для учета релевантности, вводя теги в конце каждой строки применения правила вывода, указывающие на посылки, релевантные заключению этого вывода. Последовательные исчисления в стиле Gentzen можно модифицировать, удалив правила ослабления, позволяющие вводить произвольные формулы в правую или левую часть последовательности. Примечательной особенностью логик релевантности является то, что они являются параконсистентными логиками: наличие противоречия не обязательно приведет к «взрыву». Это следует из того факта, что условное высказывание с противоречивым антецедентом, которое не имеет общих пропозициональных или предикатных переменных с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).
Relevance logic, also called relevant logic, is a kind of non classical logic requiring the antecedent and consequent of implications to be relevantly related. They may be viewed as a family of substructural or modal logics. It is generally, but not universally, called relevant logic by British and, especially, Australian logicians, and relevance logic by American logicians. Relevance logic aims to capture aspects of implication that are ignored by the "material implication" operator in classical truth functional logic, namely the notion of relevance between antecedent and conditional of a true implication. This idea is not new: C. I. Lewis was led to invent modal logic, and specifically strict implication, on the grounds that classical logic grants paradoxes of material implication such as the principle that a falsehood implies any proposition. Hence "if I'm a donkey, then two and two is four" is true when translated as a material implication, yet it seems intuitively false since a true implication must tie the antecedent and consequent together by some notion of relevance. And whether or not the speaker is a donkey seems in no way relevant to whether two and two is four. In terms of a syntactical constraint for a propositional calculus, it is necessary, but not sufficient, that premises and conclusion share atomic formulae (formulae that do not contain any logical connectives). In a predicate calculus, relevance requires sharing of variables and constants between premises and conclusion. This can be ensured (along with stronger conditions) by, e. g., placing certain restrictions on the rules of a natural deduction system. In particular, a Fitch style natural deduction can be adapted to accommodate relevance by introducing tags at the end of each line of an application of an inference indicating the premises relevant to the conclusion of the inference. Gentzen style sequent calculi can be modified by removing the weakening rules that allow for the introduction of arbitrary formulae on the right or left side of the sequents. A notable feature of relevance logics is that they are paraconsistent logics: the existence of a contradiction will not necessarily cause an "explosion." This follows from the fact that a conditional with a contradictory antecedent that does not share any propositional or predicate letters with the consequent cannot be true (or derivable).
История
Логика релевантности была предложена в 1928 году советским философом Иваном Е. Орловым (1886 – ок. 1936) в его строго математической статье "Логика совместимости высказываний", опубликованной в "Математическом сборнике". Основная идея релевантной импликации встречается в средневековой логике, а пионерские работы в этой области были выполнены Аккерманом, Мохом и Черчем в 1950-х годах. Развивая их идеи, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (совместно с другими авторами) написали фундаментальный труд по этой теме "Энтелемент: логика релевантности и необходимости" в 1970-х годах (второй том был опубликован в 1990-х). Они сосредоточились как на системах энтелемента, так и на системах релевантности, где импликации первого типа должны быть одновременно релевантными и необходимыми.
Relevance logic was proposed in 1928 by Soviet philosopher Ivan E. Orlov (1886 – circa 1936) in his strictly mathematical paper "The Logic of Compatibility of Propositions" published in Matematicheskii Sbornik. The basic idea of relevant implication appears in medieval logic, and some pioneering work was done by Ackermann, Moh, and Church in the 1950s. Drawing on them, Nuel Belnap and Alan Ross Anderson (with others) wrote the magnum opus of the subject, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity in the 1970s (the second volume being published in the nineties). They focused on both systems of entailment and systems of relevance, where implications of the former kinds are supposed to be both relevant and necessary.
Аксиомы
Ранние разработки в логике релевантности были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Рутли–Мейера выявило ряд более слабых логик. Самая слабая из этих логик – логика релевантности B. Она аксиоматизируется следующими аксиомами и правилами. Правила таковы. Более сильные логики можно получить, добавляя любую из следующих аксиом. Существуют некоторые известные логики, более сильные, чем B, которые можно получить, добавляя к B аксиомы следующим образом: для DW – добавить аксиому 1; для DJ – добавить аксиомы 1, 2; для TW – добавить аксиомы 1, 2, 3, 4; для RW – добавить аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9; для T – добавить аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11; для R – добавить аксиомы 1, 11; для E – добавить аксиомы 1, 7, 10, 11, и , где определяется как ; для RM – добавить все дополнительные аксиомы.
The early developments in relevance logic focused on the stronger systems. The development of the Routley–Meyer semantics brought out a range of weaker logics. The weakest of these logics is the relevance logic B. It is axiomatized with the following axioms and rules. The rules are the following. Stronger logics can be obtained by adding any of the following axioms. There are some notable logics stronger than B that can be obtained by adding axioms to B as follows. For DW, add axiom 1. For DJ, add axioms 1, 2. For TW, add axioms 1, 2, 3, 4. For RW, add axioms 1, 2, 3, 4, 8, 9. For T, add axioms 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11. For R, add axioms 1 11. For E, add axioms 1 7, 10, 11, , and , where is defined as For RM, add all the additional axioms.