Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Классическая двухзначная логика, где каждое утверждение либо истинно, либо ложно.
Classical logic of two values, either true or false
В логике семантический принцип (или закон) бивалентности утверждает, что каждое декларативное предложение, выражающее высказывание (в рамках рассматриваемой теории), имеет ровно одно значение истинности – либо истинно, либо ложно. Логика, удовлетворяющая этому принципу, называется двухзначной или бивалентной логикой. В формальной логике принцип бивалентности становится свойством, которым семантика может обладать или не обладать. Однако он не тождественен закону исключённого третьего, и семантика может удовлетворять последнему, не будучи бивалентной.
In logic, the semantic principle (or law) of bivalence states that every declarative sentence expressing a proposition (of a theory under inspection) has exactly one truth value, either true or false. A logic satisfying this principle is called a two valued logic or bivalent logic. In formal logic, the principle of bivalence becomes a property that a semantics may or may not possess. It is not the same as the law of excluded middle, however, and a semantics may satisfy that law without being bivalent.
Отношение к праву исключенного среднего
Принцип бивалентности связан с законом исключённого третьего, хотя последний является синтаксическим выражением языка логики вида "P ∨ ¬P". Различие между принципом бивалентности и законом исключённого третьего важно, поскольку существуют логики, которые подтверждают закон, но не принцип. В интуиционистской логике закон исключённого третьего не выполняется. В классической двухзначной логике выполняются как закон исключённого третьего, так и закон непротиворечия.
The principle of bivalence is related to the law of excluded middle though the latter is a syntactic expression of the language of a logic of the form "P ∨ ¬P". The difference between the principle of bivalence and the law of excluded middle is important because there are logics that validate the law but not the principle. In Intuitionistic logic the law of excluded middle does not hold. In classical two valued logic both the law of excluded middle and the law of non contradiction hold.
Классическая логика
Предполагаемая семантика классической логики бивалентна, однако это справедливо не для всех семантик классической логики. В булевозначной семантике (для классической пропозициональной логики) значения истинности являются элементами произвольной булевой алгебры, "истина" соответствует максимальному элементу алгебры, а "ложь" – минимальному. Промежуточные элементы алгебры соответствуют значениям истинности, отличным от "истины" и "лжи". Принцип бивалентности выполняется только в случае, когда булева алгебра рассматривается как двухэлементная алгебра, не имеющая промежуточных элементов. Назначение булевозначной семантики классическому исчислению предикатов требует, чтобы модель была полной булевой алгеброй, поскольку универсальный квантор отображается в операцию инфимума, а экзистенциальный квантор – в операцию супремума; это называется булевозначной моделью. Все конечные булевы алгебры являются полными.
The intended semantics of classical logic is bivalent, but this is not true of every semantics for classical logic. In Boolean valued semantics (for classical propositional logic), the truth values are the elements of an arbitrary Boolean algebra, "true" corresponds to the maximal element of the algebra, and "false" corresponds to the minimal element. Intermediate elements of the algebra correspond to truth values other than "true" and "false". The principle of bivalence holds only when the Boolean algebra is taken to be the two element algebra, which has no intermediate elements. Assigning Boolean semantics to classical predicate calculus requires that the model be a complete Boolean algebra because the universal quantifier maps to the infimum operation, and the existential quantifier maps to the supremum; this is called a Boolean valued model. All finite Boolean algebras are complete.
Диссертация Сушко
Для того, чтобы обосновать свое утверждение о том, что истина и ложь – единственные логические значения, Роман Сушко (1977) отмечает, что каждой структурной многозначной пропозициональной логике Тарского можно придать бивалентную семантику.
In order to justify his claim that true and false are the only logical values, Roman Suszko (1977) observes that every structural Tarskian many valued propositional logic can be provided with a bivalent semantics.