Введение
Непрерывное распределение вероятностей
В теории вероятностей и статистике распределение Вейбулла /ˈw//aɪ//b//ʊ//l/ является непрерывным распределением вероятностей. Оно моделирует широкий спектр случайных величин, преимущественно описывающих время до отказа или время между событиями. Примеры включают максимальное суточное количество осадков и время, которое пользователь проводит на веб-странице. Распределение названо в честь шведского математика Валодди Вейбулла, который подробно описал его в 1939 году, хотя впервые оно было выявлено Рене Морисом Фреше и впервые применено для описания распределения размеров частиц.
Функция плотности
Форма функции плотности распределения Вейбулла резко меняется в зависимости от значения k. При 0 < k < 1 функция плотности стремится к ∞ при приближении x к нулю справа и строго убывает. При k = 1 функция плотности стремится к 1/λ при приближении x к нулю справа и строго убывает. При k > 1 функция плотности стремится к нулю при приближении x к нулю справа, возрастает до своей моды и убывает после нее. Функция плотности имеет бесконечно отрицательный наклон в точке x = 0, если 0 < k < 1, бесконечно положительный наклон в точке x = 0, если 1 < k < 2, и нулевой наклон в точке x = 0, если k > 2. При k = 1 плотность имеет конечный отрицательный наклон в точке x = 0. При k = 2 плотность имеет конечный положительный наклон в точке x = 0. При k, стремящемся к бесконечности, распределение Вейбулла сходится к дельта-распределению Дирака, центрированному в точке x = λ. Более того, асимметрия и коэффициент вариации зависят только от параметра формы. Обобщением распределения Вейбулла является гиперболастическое распределение типа III.
Минима
Пусть независимые и одинаково распределенные случайные величины Вейбулла с параметром масштаба и параметром формы. Если минимум этих случайных величин равен , то функция распределения вероятностей величины задается выражением
То есть, также будет распределена по Вейбуллу с параметром масштаба и параметром формы .
Трики репараметризации
Пусть некоторые неотрицательные величины не все равны нулю, и пусть являются независимыми выборками из , тогда
.
Обыкновенный наименьший квадрат с использованием графика Вейбулла
Подходящее распределение Вейбулла для данных может быть визуально оценено с помощью графика Вейбулла. График Вейбулла – это график эмпирической кумулятивной функции распределения данных, построенный по специальным осям, представляющий собой разновидность Q–Q-графика. Оси представляют собой и . Причина такого изменения переменных заключается в том, что кумулятивная функция распределения может быть линеаризована:
что можно представить в стандартной форме уравнения прямой линии. Следовательно, если данные происходят из распределения Вейбулла, то на графике Вейбулла ожидается прямая линия. Существуют различные подходы к получению эмпирической функции распределения из данных: один из методов – получение вертикальной координаты для каждой точки по формуле , где – ранг точки данных, а – общее число точек данных. Линейная регрессия также может быть использована для численной оценки качества подгонки и оценки параметров распределения Вейбулла. Наклон прямой напрямую указывает на параметр формы , а параметр масштаба также может быть определен.