Вейбулл таралуы – үздіксіз ықтималдық таралу, уақытқа қатысты деректерді (жұлу уақыты, жаңбыр мөлшері) модельдеуге қолданылады. Математик Вейбулл еңбектері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үзіліссіз ықтималдық үлестірімі
Continuous probability distribution
Ықтималдық теориясы мен статистикада Вейбулл үлестірімі '/w//aɪ//b//ʊ//l/ – үзіліссіз ықтималдық үлестірімі. Ол сәтсіздікке дейінгі уақыт немесе оқиғалар арасындағы уақыт сияқты, кездейсоқ шамалардың кең ауқымын модельдейді. Мысалдарға ең көп бір күндік жаңбыр мөлшері және пайдаланушының веб-бетте өткізген уақыты жатады. Бұл үлестірім швед математигі Валодди Вейбуллдің құрметіне аталған, ол оны 1939 жылы егжей-тегжейлі сипаттаған, бірақ оны алғаш Рене Морис Фреше анықтаған және алғаш рет бөлшектің мөлшерінің үлестірімін сипаттау үшін қолданған.
In probability theory and statistics, the Weibull distribution '/w//aɪ//b//ʊ//l/ is a continuous probability distribution. It models a broad range of random variables, largely in the nature of a time to failure or time between events. Examples are maximum one day rainfalls and the time a user spends on a web page. The distribution is named after Swedish mathematician Waloddi Weibull, who described it in detail in 1939, although it was first identified by René Maurice Fréchet and first applied by to describe a particle size distribution.
Тығыздық функциясы
Вейбулл таралымының тығыздық функциясының түрі k мәніне байланысты күрт өзгереді. 0 < k < 1 болғанда, x нөлге жоғарыдан жақындағанда тығыздық функциясы ∞-ге ұмтылады және қатаң түрде кемиді. k = 1 болғанда, x нөлге жоғарыдан жақындағанда тығыздық функциясы 1/λ-ға ұмтылады және қатаң түрде кемиді. k > 1 болғанда, x нөлге жоғарыдан жақындағанда тығыздық функциясы нөлге ұмтылады, максимумға дейін артады, содан кейін кемиді. Тығыздық функциясы 0 < k < 1 болса, x = 0 нүктесінде шексіз теріс еңіске ие, 1 < k < 2 болса, x = 0 нүктесінде шексіз оң еңіске ие, ал k > 2 болса, x = 0 нүктесінде еңіс нөлге тең. k = 1 болғанда тығыздық x = 0 нүктесінде шекті теріс еңіске ие. k = 2 болғанда тығыздық x = 0 нүктесінде шекті оң еңіске ие. k шексіздікке ұмтылғанда, Вейбулл таралымы x = λ орталығындағы Дирак дельта функциясына айналады. Сонымен қатар, асимметрия және вариация коэффициенті тек пішін параметріне ғана тәуелді. Вейбулл таралымының жалпылама түрі III типті гиперболалық таралым болып табылады.
The form of the density function of the Weibull distribution changes drastically with the value of k. For 0 < k < 1, the density function tends to ∞ as x approaches zero from above and is strictly decreasing. For k = 1, the density function tends to 1/λ as x approaches zero from above and is strictly decreasing. For k > 1, the density function tends to zero as x approaches zero from above, increases until its mode and decreases after it. The density function has infinite negative slope at x = 0 if 0 < k < 1, infinite positive slope at x = 0 if 1 < k < 2 and null slope at x = 0 if k > 2. For k = 1 the density has a finite negative slope at x = 0. For k = 2 the density has a finite positive slope at x = 0. As k goes to infinity, the Weibull distribution converges to a Dirac delta distribution centered at x = λ. Moreover, the skewness and coefficient of variation depend only on the shape parameter. A generalization of the Weibull distribution is the hyperbolastic distribution of type III.
Ең аз
Болсын – тәуелсіз және бірдей таратылған Weibull кездейсоқ шамалары, масштаб параметрі – және форма параметрі – болсын. Егер осы кездейсоқ шамалардың ең кішісі болса, онда берілген ықтималдықтың жиынтық үлестірімі келесідей беріледі:
Let be independent and identically distributed Weibull random variables with scale parameter and shape parameter If the minimum of these random variables is , then the cumulative probability distribution of given by
Яғни, сондай-ақ Weibull таралымын қабылдайды, онда масштаб параметрі – және форма параметрі – болады.
That is, will also be Weibull distributed with scale parameter and with shape parameter .
Репараметризациялау амалдары
Кейбір оң және теріс емес сандарды қарастырайық, олардың бәрі де нөл емес, және болсын – сандарынан тәуелсіз алынған үлгілер. Сонда
Fix some Let be nonnegative, and not all zero, and let be independent samples of , then
.
.
Вейбулл графигін пайдаланатын ең кіші квадрат
Вейбулл таралымының деректерге сәйкестігін Вейбулл графигі арқылы визуально бағалауға болады. Вейбулл графигі – бұл Q–Q графигінің бір түріндегі ерекше осьтерде көрсетілген деректердің эмпирикалық жиынтық үлестіру функциясының графигі. Осьтердің мақсаты – жиынтық үлестіру функциясын сызықты түрге келтіру, яғни:
The fit of a Weibull distribution to data can be visually assessed using a Weibull plot. The Weibull plot is a plot of the empirical cumulative distribution function of data on special axes in a type of Q–Q plot. The axes are versus The reason for this change of variables is the cumulative distribution function can be linearized:
ол тура сызықтың стандартты түрінде көрінеді. Сондықтан, егер деректер Вейбулл таралымынан алынған болса, Вейбулл графигінде тура сызық болуы керек. Деректерден эмпирикалық үлестіру функциясын алудың әртүрлі тәсілдері бар: мысалы, әрбір нүкте үшін тік координатаны дерек нүктесінің орны (рангі) және дерек нүктелерінің жалпы саны арқылы анықтауға болады. Сызықтық регрессияны да деректердің сәйкестігін сандық бағалау және Вейбулл таралымының параметрлерін есептеу үшін қолдануға болады. Градиент пішін параметрін тура көрсетеді, ал масштаб параметрін де анықтауға болады.
which can be seen to be in the standard form of a straight line. Therefore, if the data came from a Weibull distribution then a straight line is expected on a Weibull plot. There are various approaches to obtaining the empirical distribution function from data: one method is to obtain the vertical coordinate for each point using where is the rank of the data point and is the number of data points. Linear regression can also be used to numerically assess goodness of fit and estimate the parameters of the Weibull distribution. The gradient informs one directly about the shape parameter and the scale parameter can also be inferred.