Введение

Произведение целого числа само на себя.

В математике квадратное число, или полный квадрат, — это целое число, являющееся квадратом целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа само на себя. Например, 9 является квадратным числом, поскольку оно равно 3² и может быть записано как 3 × 3. Обычно квадрат числа n обозначается не произведением n × n, а эквивалентной степенью n², обычно произносимой как «n в квадрате». Название «квадратное число» происходит от названия геометрической фигуры. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата (1 × 1). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n². Если квадратное число представлено n точками, эти точки можно расположить в виде квадрата, каждая сторона которого содержит столько же точек, сколько квадратный корень из n; таким образом, квадратные числа являются разновидностью фигурных чисел (другими примерами являются кубические и треугольные числа). В системе действительных чисел квадратные числа неотрицательны. Неотрицательное целое число является квадратным числом, если его квадратный корень также является целым числом. Например, √9 = 3, следовательно, 9 — квадратное число. Положительное целое число, не имеющее делителей, являющихся полными квадратами, кроме 1, называется свободно́м от квадратов. Для неотрицательного целого числа n, n-е квадратное число равно n², при этом 1 = 0² = 0 является нулевым. Понятие квадрата можно расширить на некоторые другие системы чисел. Если рассматривать рациональные числа, то квадрат — это отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел является квадратом, например, … . Начиная с 1, количество квадратных чисел до m включительно равно ⌊√m⌋, где ⌊x⌋ обозначает целую часть числа x.

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел четные и делятся на 4, поскольку (2n)² = 4n². Квадраты нечетных чисел нечетные и дают остаток 1 при делении на 8, поскольку (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1, а n(n + 1) всегда четно. Иными словами, все нечетные квадраты имеют остаток 1 при делении на 8. Любой нечетный полный квадрат является центрированным восьмиугольным числом. Разность между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разность между 1 и любым большим нечетным полным квадратом всегда равна восьмикратному треугольному числу, а разность между 9 и любым большим нечетным полным квадратом равна восьмикратному треугольному числу минус восемь. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2ⁿ не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственным полным квадратом вида 2ⁿ − 1 является 1, а единственным полным квадратом вида 2ⁿ + 1 является 9.

Особые случаи

Если число имеет вид m5, где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n25, где n = m(m + 1) и n представляет цифры перед 25. Например, квадрат числа 65 можно вычислить как n = 6 × (6 + 1) = 42, что дает квадрат, равный 4225. Если число имеет вид m0, где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n00, где n = m^(2). Например, квадрат числа 70 равен 4900. Если число двузначное и имеет вид 5m, где m представляет цифру единиц, его квадрат имеет вид aabb, где aa = 25 + m и bb = m^(2). Например, для вычисления квадрата 57, m = 7, 25 + 7 = 32 и 7^(2) = 49, следовательно, 57^(2) = 3249. Если число заканчивается на 5, его квадрат заканчивается на 5; аналогично для чисел, заканчивающихся на 25, 625, 0625, 90625, 8212890625 и т.д. Если число заканчивается на 6, его квадрат заканчивается на 6, аналогично для чисел, заканчивающихся на 76, 376, 9376, 09376, 1787109376. Например, квадрат числа 55376 равен 3066501376, оба числа заканчиваются на 376. (Числа 5, 6, 25, 76 и т.д. называются автоморфными числами. Они соответствуют последовательности A003226 в OEIS.) В десятичной системе счисления последние две цифры квадратов чисел следуют повторяющейся схеме, симметрично отраженной относительно кратных 25. В примере с 24 и 26, оба числа отличаются от 25 на 1, 24^(2) = 576 и 26^(2) = 676, оба заканчиваются на 76. В общем случае, аналогичная закономерность применима к последним трем цифрам вокруг кратных 250 и так далее. Следовательно, из 100 возможных комбинаций последних двух цифр, только 22 из них встречаются среди квадратов чисел (поскольку 00 и 25 повторяются).