Вычисление даты Пасхи: история и алгоритмы

Введение

Как вычисляется дата Пасхи

Как подвижный праздник, дата Пасхи определяется каждый год посредством вычисления, известного как определение пасхалии. Пасха отмечается в первое воскресенье после пасхальной полнолуны (математическое приближение первой астрономической полнолуния, приходящейся на 21 марта или после него – само по себе фиксированное приближение к мартовскому равноденствию). Чтобы заранее определить эту дату, необходимо сопоставить лунные месяцы и солнечный год, а также учитывать месяц, дату и день недели юлианского или григорианского календаря. Сложность алгоритма обусловлена стремлением связать дату Пасхи с датой еврейской Пасхи, в период которой, по христианскому верованию, был распят Иисус Христос. Изначально для всей христианской церкви было возможно получать дату Пасхи ежегодно через ежегодное объявление папы римского. Однако к началу III века связь в Римской империи ухудшилась настолько, что церковь придала большое значение системе, позволявшей духовенству самостоятельно и последовательно определять дату. Кроме того, церковь стремилась устранить зависимость от еврейского календаря, выводя дату Пасхи непосредственно из мартовского равноденствия. В труде «О счислении времени» (725 г.) Беда использует термин «компутус» как общий термин для любого рода вычислений, хотя пасхальные циклы Теофила он называет «пасхальным компутусом». К концу VIII века «компутус» стал обозначать конкретно вычисление времени. Результаты вычислений различаются в зависимости от того, используется ли юлианский или григорианский календарь. По этой причине католическая церковь и протестантские церкви (следующие григорианскому календарю) празднуют Пасху в другую дату, чем православные церкви (следующие юлианскому календарю). Именно смещение 21 марта от фактического равноденствия послужило причиной григорианской реформы календаря, призванной вернуть их в соответствие.

Предыстория

Пасха – праздник, посвященный воскресению Иисуса, которое, по мнению христиан, произошло на третий день (включительно) после начала Песаха. В еврейском лунно-солнечном календаре Песах начинается в сумерках 14-го дня нисана. Нисан – первый весенний месяц в северном полушарии, при этом 14-е число соответствует полнолунию. К II веку многие христиане стали отмечать Пасху только в воскресенье. Еврейский календарь не имеет прямой связи с христианскими календарями: он синхронизируется с солнечным годом, добавляя високосный месяц каждые два или три года перед лунным Новым годом, 1 нисана. Позднее евреи приняли Метонический цикл для предсказания будущих вставок месяцев. Возможным следствием этого добавления месяцев было то, что 14 нисана могло наступить до равноденствия, что некоторые христиане III века считали неприемлемым (этого не может произойти в современном фиксированном календаре). В результате было решено отделить вычисление даты Пасхи от еврейского календаря, определив первое полнолуние, следующее за мартовским равноденствием. К моменту Первого Никейского собора (325 г. н.э.) Александрийская церковь установила 21 марта как церковную дату равноденствия, независимо от фактических астрономических наблюдений. В 395 году Феофил опубликовал таблицу будущих дат Пасхи, подтвердив александрийские критерии. После этого компутус стал процедурой определения первого воскресенья после первого церковного полнолуния, приходящегося на 21 марта или после него.

Британский календарный закон и книга общих молитв

В разделе, посвященном табличным методам, выше описаны исторические аргументы и методы, посредством которых католическая церковь в конце XVI века установила современные даты Пасхального воскресенья. В Великобритании, где в то время все еще использовался юлианский календарь, Пасхальное воскресенье определялось с 1662 по 1752 год (в соответствии с предшествующей практикой) простой таблицей дат в англиканской Книге общих молитв (установленной Актом о единообразии 1662 года). Таблица индексировалась непосредственно золотым числом и буквой воскресенья, которые (в пасхальном разделе книги) предполагались уже известными. Для Британской империи и колоний новое определение даты Пасхального воскресенья было установлено Законом о календаре (новый стиль) 1750 года с приложением к нему. Метод был выбран таким образом, чтобы даты соответствовали григорианскому правилу, уже использовавшемуся в других местах. Закон требовал включения его в Книгу общих молитв, и поэтому он является общим англиканским правилом. Оригинал закона можно найти в Сводах британских статутов 1765 года. Приложение к закону содержит следующее определение: «День Пасхи (от которого зависят остальные даты) всегда является первым воскресеньем после полнолуния, которое приходится на двадцать первое марта или следует непосредственно за ним. А если полнолуние приходится на воскресенье, то Пасха выпадает на следующее воскресенье». В приложении впоследствии используются термины «пасхальное полнолуние» и «церковное полнолуние», что ясно указывает на то, что они являются приближениями к фактическому полнолунию. Этот метод существенно отличается от описанного выше метода «Для общего года», в котором сначала определяется золотое число, затем с помощью трех таблиц определяются буква воскресенья, «шифр» и дата пасхального полнолуния, из которой выводится дата Пасхального воскресенья. Эпакт не указывается явно. Для ограниченных периодов времени (например, 1900–2199 гг.) могут использоваться более простые таблицы, в течение которых шифр (представляющий эффект солнечных и лунных поправок) не изменяется. Детали, предложенные Клаввием, были использованы при разработке метода, но не играют дальнейшей роли в его применении. J. R. Stockton демонстрирует вывод эффективного компьютерного алгоритма, прослеживаемого до таблиц в молитвеннике и Календарном акте (при условии наличия описания использования таблиц), и подтверждает его работу путем вычисления соответствующих таблиц.

The portion of the tabular methods section above describes the historical arguments and methods by which the present dates of Easter Sunday were decided in the late 16th century by the Catholic Church. In Britain, where the Julian calendar was then still in use, Easter Sunday was defined, from 1662 to 1752 (in accordance with previous practice), by a simple table of dates in the Anglican Book of Common Prayer (decreed by the Act of Uniformity 1662). The table was indexed directly by the golden number and the Sunday letter, which (in the Easter section of the book) were presumed to be already known. For the British Empire and colonies, the new determination of the date of Easter Sunday was defined by what is now called the Calendar (New Style) Act 1750 with its annexe. The method was chosen to give dates agreeing with the Gregorian rule already in use elsewhere. The act required that it be put in the Book of Common Prayer, and therefore it is the general Anglican rule. The original act can be seen in the British Statutes at Large 1765. The annexe to the act includes the definition: "Easter day (on which the rest depend) is always the first Sunday after the Full Moon, which happens upon, or next after the Twenty first Day of March. And if the Full Moon happens upon a Sunday, Easter day is the Sunday after." The annexe subsequently uses the terms "Paschal Full Moon" and "Ecclesiastical Full Moon", making it clear that they approximate to the real full moon. The method is quite distinct from that described above in For a general year, one first determines the golden number, then one uses three tables to determine the Sunday letter, a "cypher", and the date of the paschal full moon, from which the date of Easter Sunday follows. The epact does not explicitly appear. Simpler tables can be used for limited periods (such as 1900–2199) during which the cypher (which represents the effect of the solar and lunar corrections) does not change. Clavius's details were employed in the construction of the method, but they play no subsequent part in its use. J. R. Stockton shows his derivation of an efficient computer algorithm traceable to the tables in the prayer book and the Calendar Act (assuming that a description of how to use the Tables is at hand), and verifies its processes by computing matching tables.

"Парадоксальные" даты Пасхи

Из-за расхождений между приближениями при вычислении времени среднего (северного полушария) весеннего равноденствия и фаз Луны и истинными значениями, вычисленными на основе астрономических принципов, иногда возникают различия между датой Пасхи, определяемой по вычислениям, и гипотетической датой Пасхи, рассчитанной астрономическими методами с использованием принципов, приписываемых отцам Церкви. Эти расхождения называются «парадоксальными» датами Пасхи. В своем «Календариуме» 1474 года Региомонтан вычислил точное время всех соединений Солнца и Луны для долготы Нюрнберга, используя Альфонсовы таблицы за период с 1475 по 1531 год. В своей работе он составил таблицу из 30 случаев, когда дата Пасхи по юлианскому компутусу не совпадала с датой Пасхи, рассчитанной с использованием астрономической новолуния. В восемнадцати случаях дата отличалась на неделю, в семи – на 35 дней, а в пяти – на 28 дней. Людвиг Ланге исследовал и классифицировал различные типы парадоксальных дат Пасхи, используя григорианский компут. В тех случаях, когда первое весеннее полнолуние по астрономическим расчетам приходится на воскресенье, а компут дает то же воскресенье для Пасхи, празднование Пасхи происходит на неделю раньше, чем гипотетическая «астрономически» правильная Пасха. Ланге назвал этот случай отрицательным недельным (гебдомадным) парадоксом (H− парадоксом). Если астрономический расчет показывает субботу для первого весеннего полнолуния, а Пасха празднуется не в следующее воскресенье, а через неделю, то Пасха, согласно компутусу, отмечается на неделю позже, чем астрономический результат. Он классифицировал такие случаи как положительный еженедельный (гебдомадный) парадокс (H+ парадоксом). Расхождения еще больше увеличиваются, если существует разница между весенним равноденствием, согласно астрономической теории, и приближением, используемым в компуте. Если астрономическое полнолуние в день равноденствия наступает раньше, чем полнолуние в день равноденствия по компутусу, Пасха будет отмечаться на четыре или даже пять недель позже. Такие случаи Ланге назвал положительным равноденственным парадоксом (A+ парадоксом). В обратном случае, когда полнолуние в день равноденствия по компутусу наступает на месяц раньше астрономического полнолуния в день равноденствия, Пасха празднуется на четыре или пять недель раньше. Такие случаи называются отрицательным равноденственным парадоксом (A− парадоксом). Равноденственные парадоксы всегда имеют глобальное значение для всей Земли, поскольку последовательность равноденствия и полнолуния не зависит от географической долготы. В отличие от этого, недельные парадоксы в большинстве случаев являются локальными и действительны только для части Земли, поскольку переход от субботы к воскресенью зависит от географической долготы. Вычисления компутуса основаны на астрономических таблицах, действительных для долготы Венеции, которую Ланге назвал григорианской долготой. В XXI и XXII веках отрицательные еженедельные парадоксальные даты Пасхи встречаются в 2049, 2076, 2106, 2119 (глобальные), 2133, 2147, 2150, 2170 и 2174 годах. Положительные еженедельные парадоксальные даты встречаются в 2045, 2069, 2089 (глобальные) и 2096 году. Положительные парадоксальные даты равноденствия встречаются в 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 и 2190 годах. В 2076 и 2133 годах возникают двойные парадоксы (положительный равноденственный и отрицательный еженедельный). Отрицательные равноденственные парадоксы встречаются крайне редко. Они происходят лишь дважды до 4000 года: в 2353 году, когда Пасха наступает на пять недель раньше, и в 2372 году, когда Пасха наступает на четыре недели раньше.

Due to the discrepancies between the approximations of Computistical calculations of the time of the mean (northern hemisphere) vernal equinox and the lunar phases, and the true values computed according to astronomical principles, differences occasionally arise between the date of Easter according to computistical reckoning and the hypothetical date of Easter calculated by astronomical methods using the principles attributed to the Church fathers. These discrepancies are called "paradoxical" Easter dates. In his Kalendarium of 1474, Regiomontanus computed the exact time of all conjunctions of the Sun and Moon for the longitude of Nuremberg according to the Alfonsine Tables for the period from 1475 to 1531. In his work he tabulated 30 instances where the Easter of the Julian computus disagreed with Easter computed using astronomical New Moon. In eighteen cases the date differed by a week, in seven cases by 35 days, and in five cases by 28 days. Ludwig Lange investigated and classified different types of paradoxical Easter dates using the Gregorian computus. In cases where the first vernal full moon according to astronomical calculation occurs on a Sunday and the computus gives the same Sunday as Easter, the celebrated Easter occurs one week in advance compared to the hypothetical "astronomically" correct Easter. Lange called this case a negative weekly (hebdomadal) paradox (H− paradox). If the astronomical calculation gives a Saturday for the first vernal full moon and Easter is not celebrated on the directly following Sunday but one week later, Easter is celebrated according to the computus one week too late in comparison to the astronomical result. He classified such cases a positive weekly (hebdomadal) paradox (H+ paradox). The discrepancies are even larger if there is a difference according to the vernal equinox with respect to astronomical theory and the approximation of the computus. If the astronomical equinoctial full moon falls before the computistical equinoctial full moon, Easter will be celebrated four or even five weeks too late. Such cases are called a positive equinoctial paradox (A+ paradox) according to Lange. In the reverse case when the Computistical equinoctial full moon falls a month before the astronomical equinoctial full moon, Easter is celebrated four or five weeks too early. Such cases are called a negative equinoctial paradox (A− paradox). Equinoctial paradoxes are always valid globally for the whole Earth, because the sequence of equinox and full moon does not depend on the geographical longitude. In contrast, weekly paradoxes are local in most cases and are valid only for part of the Earth, because the change of day between Saturday and Sunday is dependent on the geographical longitude. The computistical calculations are based on astronomical tables valid for the longitude of Venice, which Lange called the Gregorian longitude. In the 21st and 22nd centuries negative weekly paradoxical Easter dates occur in 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170, and 2174. Positive weekly paradoxical dates occur in 2045, 2069, 2089 (global), and 2096. Positive equinoctial paradoxical dates in 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171, and 2190. In 2076 and 2133, double paradoxes (positive equinoctial and negative weekly) occur. Negative equinoctial paradoxes are extremely rare. They occur only twice until the year 4000 in 2353, when Easter is five weeks too early and in 2372, when Easter is four weeks too early.

Примечание о операциях

При выражении пасхальных алгоритмов без использования таблиц традиционно применяются только целочисленные операции сложения, вычитания, умножения, деления, взятия остатка от деления и присваивания, поскольку они совместимы с использованием простых механических или электронных вычислительных устройств. Однако это ограничение нежелательно при компьютерном программировании, где доступны условные операторы и конструкции, а также таблицы поиска. Легко понять, как преобразование дня марта (от 22 до 56) в день и месяц (от 22 марта до 25 апреля) можно выполнить следующим образом: 1=if (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}. Более того, использование подобных условных конструкций также упрощает основную часть григорианских вычислений.