Введение

Систематическая процедура перехода от классической теории к квантовой – квантование общих классических теорий.

В физике квантование (в американском английском – quantization) – это систематический процесс перехода от классического описания физических явлений к современному описанию, известному как квантовая механика. Это процедура построения квантовой механики на основе классической механики. Обобщение, включающее бесконечное число степеней свободы, называется квантованием поля, как, например, в случае "квантования электромагнитного поля", где фотоны рассматриваются как "кванты" поля (например, как кванты света). Эта процедура является основой теорий атомной физики, химии, физики частиц, ядерной физики, физики конденсированного состояния и квантовой оптики.

Исторический обзор

В 1901 году, когда Макс Планк разрабатывал функцию распределения статистической механики для решения проблемы ультрафиолетовой катастрофы, он понял, что свойства излучения абсолютно чёрного тела могут быть объяснены предположением о том, что количество энергии должно состоять из счётных фундаментальных единиц, то есть количество энергии не является непрерывным, а дискретным. Иными словами, существует минимальная единица энергии, и для частоты выполняется следующее соотношение, называемое постоянной Планка, которая представляет собой меру квантово-механического эффекта. Это означало фундаментальное изменение математической модели физических величин. В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью "Об эвристической точке зрения на излучение и превращение света", в которой объяснил фотоэлектрический эффект, основываясь на квантованных электромагнитных волнах. Квант энергии, упомянутый в этой статье, впоследствии был назван "фотоном". В июле 1913 года Нильс Бор использовал квантование для описания спектра атома водорода в своей работе "О строении атомов и молекул". Предыдущие теории были успешными, но носили преимущественно феноменологический характер. Однако французский математик Анри Пуанкаре впервые дал систематическое и строгое определение квантованию в своей работе 1912 года "Sur la théorie des quanta". Термин "квантовая физика" впервые был использован в книге Джонстона "Вселенная Планка в свете современной физики" (1931).

Каноническая квантование

Каноническая квантизация развивает квантовую механику, исходя из классической механики. Вводятся соотношения коммутации для канонических координат. Технически, координаты преобразуются в операторы посредством комбинаций операторов рождения и уничтожения. Эти операторы действуют на квантовые состояния теории. Состояние с наименьшей энергией называется вакуумным состоянием.

Схемы количественного определения

Даже в рамках канонической квантизации возникают трудности при квантовании произвольных наблюдаемых в классическом фазовом пространстве. Это связано с неоднозначностью упорядочения: в классической механике переменные положения и импульса x и p коммутируют, но их квантовомеханические операторные аналоги – нет. Для разрешения этой неоднозначности было предложено несколько схем квантования, среди которых наиболее популярной является схема квантования Вейля. Тем не менее, теорема Грёненвальда — ван Хове утверждает, что не существует идеальной схемы квантования. В частности, если квантования x и p принимаются равными обычным операторам положения и импульса, то ни одна схема квантования не способна полностью воспроизвести соотношения Пуассона для классических наблюдаемых. Подробности можно найти в теореме Грёненвальда.

Ковариантная каноническая квантование

Существует способ выполнить каноническое квантование без необходимости прибегать к нековариантному подходу, связанному с расслоением пространства-времени и выбором гамильтониана. Этот метод основан на классическом действии, но отличается от функционально-интегрального подхода. Метод не применим ко всем возможным действиям (например, к действиям с некаузальной структурой или действиям с калибровочными "потоками"). Он начинается с классической алгебры всех (гладких) функционалов над пространством конфигураций. Эта алгебра факторизуется по идеалу, порожденному уравнениями Эйлера — Лагранжа. Затем эта фактор-алгебра преобразуется в алгебру Пуассона путем введения скобки Пуассона, выводимой из действия, называемой скобкой Пейерлса. Эта алгебра Пуассона затем деформируется аналогичным образом, как и в каноническом квантовании. В квантовой теории поля также существует способ квантования действий с калибровочными "потоками". Он включает в себя формализм Баталина — Вилковиского, являющийся расширением формализма BRST.

Квантовая деформация

Одной из самых ранних попыток естественной квантизации была квантизация Вейля, предложенная Германом Вейлем в 1927 году. В ней делается попытка связать квантово-механическую наблюдаемую (самосопряжённый оператор на гильбертовом пространстве) с вещественнозначной функцией на классическом фазовом пространстве. Координата и импульс в этом фазовом пространстве сопоставляются с образующими группы Гейзенберга, а гильбертово пространство представляется как групповое представление группы Гейзенберга. В 1946 году Г. Грёневальд рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и задался вопросом, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию звездообразного произведения функций в фазовом пространстве. В более общем смысле, этот метод приводит к деформационной квантизации, где произведение ★ рассматривается как деформация алгебры функций на симплектическом или пуассоновом многообразии. Однако, как естественная схема квантизации (функтор), отображение Вейля не является удовлетворительным. Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента – это не просто оператор квадрата квантового углового момента, но оно также содержит постоянный член (этот дополнительный член имеет педагогическое значение, поскольку он объясняет ненулевой угловой момент основного состояния боровской орбиты в атоме водорода, даже если стандартное квантовомеханическое основное состояние атома имеет нулевое l). Однако, как простое изменение представления, отображение Вейля полезно и важно, поскольку оно лежит в основе альтернативной эквивалентной формулировки фазового пространства в обычной квантовой механике.

Геометрическая квантование

В математической физике геометрическое квантование — это математический подход к построению квантовой теории, соответствующей заданной классической теории. Оно стремится осуществить квантование, для которого в общем случае не существует точного алгоритма, таким образом, чтобы определённые аналогии между классической и квантовой теорией оставались явными. Например, сходство между уравнением Гейзенберга в картине Гейзенберга квантовой механики и уравнением Гамильтона в классической физике должно быть заложено в основу метода. Более геометрический подход к квантованию, в котором классическое фазовое пространство может быть общим симплектическим многообразием, был разработан в 1970-х годах Бертрамом Костантом и Жаном Мари Сориау. Метод состоит из двух этапов. Сначала конструируется "предквантовое гильбертово пространство", состоящее из квадратично интегрируемых функций (или, точнее, сечений расслоения прямых) над фазовым пространством. В нём можно построить операторы, удовлетворяющие соотношениям коммутации, точно соответствующих классическим соотношениям Пуассона. С другой стороны, это предквантовое гильбертово пространство слишком велико, чтобы быть физически осмысленным. Затем происходит ограничение функциями (или сечениями), зависящими от половины переменных фазового пространства, в результате чего получается квантовое гильбертово пространство.

Интегральная квантовая траектория

Классическая механическая теория задается действием, а допустимыми конфигурациями являются те, для которых это действие является экстремальным при функциональных вариациях. Квантово-механическое описание классической системы также может быть построено из действия системы посредством формулировки интеграла по траекториям.