Введение

Использование фигурных скобок для задания множеств

В теории множеств и ее приложениях к логике, математике и информатике, нотация конструктора множеств — это математическая нотация для описания множества путем перечисления его элементов или указания свойств, которым должны удовлетворять его элементы. Определение множеств по свойствам также известно как включение по смыслу, абстракция множеств или определение интенсионала множества.

Примеры

Следующие примеры иллюстрируют конкретные множества, определенные с помощью обозначения конструктора множеств через предикаты. В каждом случае область определения указана слева от вертикальной черты, а правило – справа. – множество всех строго положительных действительных чисел, которое можно записать в интервальном виде как и множество. Это множество также можно определить как ; эквивалентные предикаты дают равные множества, что будет показано ниже. Для каждого целого числа m мы можем определить. В качестве примера, и является множеством пар действительных чисел, таких что y больше 0 и меньше f(x) для заданной функции f. Здесь декартово произведение обозначает множество упорядоченных пар действительных чисел. – множество всех четных натуральных чисел. Знак «∧» обозначает «и», что известно как логическая конъюнкция. Знак «∃» обозначает «существует», что известно как квантор существования. Таким образом, например, читается как «существует x, такой что P(x)». является нотационным вариантом для того же множества четных натуральных чисел. Нет необходимости указывать, что n является натуральным числом, поскольку это подразумевается формулой справа. – множество рациональных чисел, то есть действительных чисел, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел.

Аксиома существования множеств

Во многих формальных теориях множеств, таких как теория множеств Цермело — Френкеля, обозначение конструктора множеств не входит в формальный синтаксис теории. Вместо этого существует схема аксиомы существования множеств, которая утверждает, что если E — множество, а Φ(x) — формула на языке теории множеств, то существует множество Y, элементами которого являются ровно те элементы E, которые удовлетворяют Φ:

Множество Y, полученное из этой аксиомы, является точно тем множеством, которое описывается обозначением конструктора множеств как .