Кіріспе

Жинақтарды белгілеу үшін жақшаларды қолдану

Жинақтар теориясында және логика, математика және компьютерлік ғылымдарға қолданылуында, жинақ құрастыру белгісі – жинақтың элементтерін тізбелеп немесе оның мүшелері қанағаттандыруы тиіс қасиеттерін көрсете отырып, сипаттауға арналған математикалық жазу тәсілі. Қасиеттері арқылы жинақтарды анықтау жинақтық түсінік, жинақтық абстракция немесе жинақтың мағынасын анықтау деп те аталады.

Мысалдар

Келесі мысалдар предикаттар арқылы жиын құрастыру белгісімен анықталған нақты жиындарды көрсетеді. Әр жағдайда, домен тік сызықтың сол жағында, ал ереже оң жағында көрсетілген. – бұл қатаң оң нақты сандар жиыны, оны интервал түрінде былай жазуға болады. Бұл жиынтықты да былай анықтауға болады; эквивалентті предикаттар тең жиындарды береді. Кез келген m бүтін саны үшін, біз былай анықтай аламыз. Мысалы, және . – бұл y-тің 0-ден үлкен және f(x)-тен кіші болатын нақты сандар жұптарының жиыны, f – берілген функция болғанда. Мұндағы Декарт көбейтіндісі – нақты сандардың реттелген жұптарының жиыны. – барлық жұп табиғи сандар жиыны. «Және» белгісі логикалық конъюнкция деп аталады. «∃» белгісі «бар» дегенді білдіреді, бұл экзистенциалдық квантификация деп аталады. Сондықтан, мысалы, «P(x) болатын x бар» деп оқылады. – табиғи сандардың жұптары жиынының басқаша жазылуы. n – табиғи сан екенін көрсетудің қажеті жоқ, себебі бұл оң жақтағы формуладан көрінеді. – рационалдық сандар жиыны; яғни, екі бүтін санның қатынасы түрінде жазылатын нақты сандар.

Жинақтардың бар болуы аксиомасы

Көптеген формальды жиынтық теорияларында, мысалы, Зермело-Франкель жиынтық теориясында, жиынтық құрастырушы белгілеу теорияның формальды синтаксисінің бір бөлігі емес. Оның орнына, жиынтықтардың болуына қатысты аксиомалық схема бар, ол мынаны күйейді: егер E жиынтық болса және Φ(x) жиынтық теориясының тіліндегі формула болса, онда Φ-ны қанағаттандыратын E элементтерінен тұратын Y жиынтығы бар.

Осы аксиомадан алынған Y жиынтығы, жиынтық құрастырушы белгілеумен сипатталған жиынтыққа тең болады.