Введение

Гипотеза статистической механики о том, что все микросостояния равновероятны при заданной энергии.

В физике и термодинамике эргодическая гипотеза утверждает, что в течение длительных периодов времени время, которое система проводит в некоторой области фазового пространства микросостояний с одинаковой энергией, пропорционально объему этой области, то есть все доступные микросостояния равновероятны в течение длительного времени. Теорема Лиувиля утверждает, что для гамильтоновой системы локальная плотность микросостояний, следующих по траектории частиц в фазовом пространстве, остается постоянной с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ансамблем (то есть полная производная по времени равна нулю). Следовательно, если микросостояния изначально равномерно распределены в фазовом пространстве, они останутся таковыми всегда. Однако теорема Лиувиля не подразумевает, что эргодическая гипотеза справедлива для всех гамильтоновых систем. Эргодическая гипотеза часто принимается в статистическом анализе в вычислительной физике. Исследователь предполагает, что среднее значение параметра процесса по времени и среднее значение по статистическому ансамблю совпадают. Это предположение – что моделирование системы в течение длительного времени эквивалентно проведению множества независимых реализаций той же системы – не всегда верно. (См., например, эксперимент Ферми — Паста — Улама — Цингоу 1953 года.) Принятие эргодической гипотезы позволяет доказать невозможность определенных типов вечных двигателей второго рода. Системы, обладающие свойством эргодичности, называются эргодическими; широкий спектр систем в геометрии, физике и теории вероятностей являются эргодическими. Эргодические системы изучаются в эргодической теории.

Феноменология

В макроскопических системах временные масштабы, необходимые для полного исследования системой своего фазового пространства, могут быть настолько велики, что состояние термодинамического равновесия демонстрирует ту или иную форму нарушения эргодичности. Типичным примером является спонтанная намагниченность в ферромагнитных системах, где ниже температуры Кюри система преимущественно принимает ненулевую намагниченность, хотя эргодическая гипотеза предполагает, что результирующая намагниченность должна быть равна нулю, поскольку система исследует все состояния со средней по времени намагниченностью, равной нулю. Тот факт, что макроскопические системы часто не удовлетворяют строгой формулировке эргодической гипотезы, является примером спонтанного нарушения симметрии. Однако сложные неупорядоченные системы, такие как спиновые стекла, демонстрируют еще более сложную форму нарушения эргодичности, при которой свойства термодинамического равновесного состояния, наблюдаемые на практике, гораздо труднее предсказать, основываясь лишь на аргументах симметрии. Обычные стекла (например, оконное стекло) также нарушают эргодичность сложным образом. На практике это означает, что на достаточно коротких временных масштабах (например, секундах, минутах или нескольких часах) системы могут вести себя как твердые тела, то есть обладать положительным модулем сдвига, но на чрезвычайно больших масштабах времени, например, тысячелетиях или эонах, – как жидкости, или демонстрировать два или более временных масштаба и плато между ними.

Эргодическая гипотеза в финансах

Модели, используемые в финансах и инвестициях, предполагают эргодичность, явно или неявно. Эргодическая гипотеза широко распространена в современной теории портфеля, моделях дисконтированных денежных потоков (DCF) и моделях агрегированных индикаторов, интегрирующих макроэкономику, среди прочего. Ситуации, моделируемые этими теориями, могут быть полезны, но часто они применимы лишь на протяжении большей части, но не всего, рассматриваемого периода времени. В результате они могут упускать из виду наиболее существенные отклонения от стандартной модели, такие как финансовые кризисы, долговые кризисы и системный риск в банковской системе, которые возникают нечасто. Нассим Николас Талеб утверждал, что значительная часть эмпирической реальности в финансах и инвестициях является неэргодичной. Даже статистическое распределение вероятностей, при котором система бесконечное число раз возвращается в каждое возможное состояние, не соответствует наблюдаемой нами действительности в ситуациях, когда достигаются "поглощающие состояния" – состояния, характеризующиеся гибелью. Смерть индивида, полная потеря имущества, дезинтеграция или распад национального государства и сопутствующей ему правовой системы – все это примеры поглощающих состояний. Следовательно, в финансах важна зависимость от траектории. Траектория, на которой индивид, компания или страна сталкиваются с "остановкой" – поглощающим барьером, "любым фактором, препятствующим тем, у кого есть заинтересованность, выйти из сложившейся ситуации, и к которому система неизбежно стремится" – будет неэргодичной. Назовем такие ситуации крахом, поскольку из этого состояния невозможно выбраться. Главная проблема заключается в том, что при наличии вероятности краха анализ затрат и выгод становится невозможным. Все традиционные модели, основанные на стандартной вероятностной статистике, терпят крах в этих экстремальных ситуациях.

Эргодическая гипотеза в социальных науках

В социальных науках эргодическая гипотеза соответствует предположению, что отдельные индивиды репрезентативны для групп, и наоборот, что групповые средние могут адекватно характеризовать то, что можно наблюдать у отдельного человека. Однако, это не соответствует действительности: групповые данные часто дают неверное представление об индивидуальных различиях, поскольку индивидуальные стандартные отклонения (СД) обычно почти в восемь раз превышают стандартные отклонения (СД) на уровне группы для тех же людей. В результате, треть индивидуальных наблюдений выходит за пределы 99,9% доверительного интервала, рассчитанного на основе групповых данных.