Введение

Техника анализа электрических цепей – применение математического метода в электротехнике.

В электротехнике трансформация Y-Δ (также записывается как wye-delta и известна под многими другими названиями) является математическим методом, используемым для упрощения анализа электрической сети. Название происходит от формы схем, которые соответственно напоминают букву Y и греческую заглавную букву Δ. Эта теория преобразования цепей была опубликована Артуром Эдвином Кеннелли в 1899 году. Она широко применяется при анализе трехфазных электрических цепей. Трансформацию Y-Δ можно рассматривать как частный случай преобразования «звезда-треугольник» для трех резисторов. В математике преобразование Y-Δ играет важную роль в теории круговых планарных графов.

Имена

Трансформация Y Δ известна под различными другими названиями, в основном основанными на двух фигурах, участвующих в преобразовании, перечисленных в любом порядке. Y, которое также называют «wye», может также называться T или звездой; Δ, которое также называют «delta», может также называться треугольником, Π (произносится как «пи») или ячейкой. Таким образом, распространенные названия для этого преобразования включают wye-delta или delta-wye, star-delta, star-mesh или T-Π.

Основная Y-Δ преобразование

Трансформация используется для установления эквивалентности сетей с тремя выводами. Если три элемента соединяются в общей точке и ни один из них не является источником, эта точка устраняется путем преобразования импедансов. Для эквивалентности, импеданс между любой парой выводов должен быть одинаковым для обеих сетей. Приведенные здесь уравнения справедливы как для комплексных, так и для действительных импедансов. Комплексный импеданс – это величина, измеряемая в омах, представляющая собой сопротивление в виде положительных действительных чисел и реактивное сопротивление в виде положительных и отрицательных мнимых чисел.

Упрощение сетей

Резистивные сети между двумя выводами теоретически могут быть упрощены до одного эквивалентного резистора (в более общем случае, то же самое верно и для импеданса). Последовательные и параллельные преобразования являются основными инструментами для этого, но для сложных сетей, таких как мост, изображенный здесь, они оказываются недостаточными. Преобразование Y Δ можно использовать для устранения одного узла за раз и получения сети, которую затем можно упростить еще больше, как показано. Обратное преобразование Δ Y, которое добавляет узел, часто бывает полезно для подготовки к дальнейшему упрощению. Любая двухвыводная сеть, представленная планарным графом, может быть сведена к одному эквивалентному резистору с помощью последовательности последовательных, параллельных, Y Δ и Δ Y преобразований. Однако существуют непланарные сети, которые нельзя упростить с помощью этих преобразований, например, регулярная квадратная сетка, обернутая вокруг тора, или любой элемент семейства Петерсена.

Теория графов

В теории графов Y Δ-преобразование означает замену Y-подграфа графа эквивалентным Δ-подграфом. Преобразование сохраняет количество рёбер в графе, но не сохраняет количество вершин или количество циклов. Два графа называются Y Δ-эквивалентными, если один из них можно получить из другого посредством последовательности Y Δ-преобразований в любом направлении. Например, семейство Петерсена является классом Y Δ-эквивалентности.