Введение
Мартингейл – это класс стратегий ставок, возникший и получивший популярность во Франции в XVIII веке. Самая простая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку при выпадении орла, и проигрывает при выпадении решки. Стратегия заключалась в удвоении ставки после каждой потери, чтобы первая победа покрыла все предыдущие убытки и принесла прибыль, равную первоначальной ставке. Таким образом, эта стратегия является реализацией Санкт-Петербургского парадокса. Поскольку игрок почти наверняка рано или поздно выиграет, стратегия мартингейл гарантированно принесет доход игроку при условии неограниченного капитала и отсутствия лимита на выигрыш в одной ставке. Однако ни один игрок не обладает неограниченным капиталом, и экспоненциальный рост ставок может привести к банкротству неудачливых игроков, использующих мартингейл, что повлечет за собой катастрофические потери. Несмотря на то, что игрок обычно получает небольшую чистую прибыль, создавая впечатление надежной стратегии, математическое ожидание игрока остается равным нулю, поскольку небольшая вероятность катастрофических потерь компенсируется ожидаемым выигрышем. В казино математическое ожидание отрицательное из-за преимущества казино. Кроме того, вероятность серии последовательных проигрышей выше, чем может показаться на первый взгляд, поэтому стратегии мартингейл могут быстро обанкротить игрока. Стратегия мартингейл также применяется в рулетке, поскольку вероятность выпадения красного или черного цвета близка к 50%.
the generalised mathematical concept
A martingale is a class of betting strategies that originated from and were popular in 18th century France. The simplest of these strategies was designed for a game in which the gambler wins the stake if a coin comes up heads and loses if it comes up tails. The strategy had the gambler double the bet after every loss, so that the first win would recover all previous losses plus win a profit equal to the original stake. Thus the strategy is an instantiation of the St. Petersburg paradox. Since a gambler will almost surely eventually flip heads, the martingale betting strategy is certain to make money for the gambler provided they have infinite wealth and there is no limit on money earned in a single bet. However, no gambler has infinite wealth, and the exponential growth of the bets can bankrupt unlucky gamblers who choose to use the martingale, causing a catastrophic loss. Despite the fact that the gambler usually wins a small net reward, thus appearing to have a sound strategy, the gambler's expected value remains zero because the small probability that the gambler will suffer a catastrophic loss exactly balances with the expected gain. In a casino, the expected value is negative, due to the house's edge. Additionally, as the likelihood of a string of consecutive losses is higher than common intuition suggests, martingale strategies can bankrupt a gambler quickly. The martingale strategy has also been applied to roulette, as the probability of hitting either red or black is close to 50%.
Интуитивный анализ
Основная причина, по которой все системы ставок, основанные на принципе Мартингейла, терпят неудачу, заключается в том, что никакая информация о результатах предыдущих ставок не может быть использована для предсказания результатов будущих ставок с точностью, превышающей случайную. В математических терминах это соответствует предположению, что исходы каждого пари – выигрыш или проигрыш – являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, что является обоснованным предположением во многих реальных ситуациях. Из этого следует, что математическое ожидание серии ставок равно сумме математических ожиданий каждой возможной ставки в этой серии, умноженной на вероятность ее осуществления. В большинстве казино математическое ожидание любой отдельной ставки отрицательно, поэтому сумма множества отрицательных чисел всегда будет отрицательной. Стратегия Мартингейла не работает даже при неограниченном времени игры, если существуют ограничения на выигрыш или размер ставок (что обычно и происходит на практике). Лишь при неограниченных средствах, размерах ставок и времени можно утверждать, что стратегия Мартингейла может стать выигрышной.
Математический анализ
Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе, при ограничении размера ставок, размера банкролла или кредитной линии, доказана теоремой об оптимальной остановке. Однако, агрессивная игра не всегда является оптимальной стратегией для достижения максимальной вероятности увеличения начального капитала до желаемого уровня. Если игрок может делать произвольно малые ставки с произвольно высокими коэффициентами (но при этом сохраняя ожидаемый убыток в 10/19 от ставки при каждой ставке) и может делать только одну ставку за каждое вращение, то существуют стратегии с вероятностью достижения цели более 98%, которые используют крайне осторожную игру, за исключением случаев, когда игрок близок к потере всего капитала, тогда он переходит к чрезвычайно агрессивной игре.
Анти-мартингейл
В классическом стиле ставок мартингейл игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что последующая победа покроет все предыдущие потери. Стратегия анти-мартингейл, также известная как обратный мартингейл, напротив, увеличивает ставки после выигрышей и уменьшает их после проигрышей. Считается, что игрок сможет извлечь выгоду из выигрышной серии или "горячей руки", одновременно снижая потери во время "холодной" полосы или серии проигрышей. Однако, поскольку отдельные ставки независимы друг от друга (и от ожиданий игрока), представление о выигрышных "сериях" является лишь примером заблуждения игрока, и стратегия анти-мартингейл не позволяет заработать.