Введение
Число без повторяющихся простых множителей
В математике, целое число, свободное от квадратов (или квадратное число) — это целое число, которое не делится ни на одно квадратное число, отличное от 1. Иными словами, его разложение на простые множители содержит ровно один множитель для каждого простого числа, входящего в его состав. Например, 10 = 2 ⋅ 5 свободно от квадратов, но 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 не свободно от квадратов, поскольку 18 делится на 9 = 3². Самые маленькие положительные числа, свободные от квадратов, — это...
Эквивалентные характеристики
Положительное целое число называется свободно от квадратов, если и только если в его разложении на простые множители ни один простой множитель не встречается в степени, большей единицы. Другими словами, для каждого простого делителя числа , простое число не делит . Число также свободно от квадратов, если и только если в любом его разложении на множители, множители и взаимно просты. Непосредственным следствием этого определения является то, что все простые числа свободны от квадратов. Положительное целое число свободно от квадратов, если и только если все абелевы группы порядка являются изоморфными, что равносильно тому, что любая такая группа циклична. Это следует из классификации конечно порожденных абелевых групп. Целое число свободно от квадратов, если и только если фактор-кольцо (см. модульную арифметику) является произведением полей. Это следует из китайской теоремы об остатках и того факта, что кольцо вида является полем, если и только если простое. Для каждого положительного целого числа множество всех его положительных делителей образует частично упорядоченное множество, если в качестве отношения порядка использовать делимость. Это частично упорядоченное множество всегда является дистрибутивной решеткой. Оно является булевой алгеброй, если и только если свободно от квадратов. Положительное целое число свободно от квадратов, если и только если , где обозначает функцию Мёбиуса.
Серия Дирихле
Абсолютное значение функции Мёбиуса является индикаторной функцией для чисел, свободных от квадратов – то есть, равно 1, если n свободно от квадратов, и 0, если это не так. Ряд Дирихле этой индикаторной функции равен
где ζ(s) – функция Римана-дзета. Это следует из разложения Эйлера в произведение:
где произведения берутся по всем простым числам.