Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Қайталанатын жай көбейткіштері жоқ сан
Number without repeated prime factors
Математикада, квадратсыз бүтін сан (немесе квадратсыз сан) — 1-ден басқа ешқандай квадрат санға бөлінбейтін бүтін сан. Яғни, оның жай факторлануында әр жай сан бір рет ғана кездеседі. Мысалы, 10 = 2 ⋅ 5 квадратсыз сан, ал 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 квадратсыз емес, себебі 18, 9 = 3²-ге бөлінеді. Ең кіші оң квадратсыз сандар:
In mathematics, a square free integer (or squarefree integer) is an integer which is divisible by no square number other than 1. That is, its prime factorization has exactly one factor for each prime that appears in it. For example, 1=10 = 2 ⋅ 5 is square free, but 1=18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 is not, because 18 is divisible by 1=9 = 32. The smallest positive square free numbers are
Теңдес сипаттамалар
Оң бүтін сан егер және тек қана оның жай көбейткіштердің ешқайсысы бірден үлкен дәрежеде болмаса, квадратсыз болады. Басқаша айтқанда, сандың кез келген жай көбейткіші үшін, жай сан сол санды қалдықсыз бөле алмайды. Сондай-ақ, сан квадратсыз, егер және тек қана оның кез келген көбейткішіндегі екі фактор өзара жай болса. Бұл анықтаманың тікелей салдары – барлық жай сандар квадратсыз болады. Оң бүтін сан егер және тек қана оның барлық абельдік топтары изоморфты болса, онда квадратсыз болады, бұл осындай топтың кез келгені циклдік болған жағдайда ғана орын алады. Бұл шекті жасалған абельдік топтардың жіктелуінен туындайды. Сан квадратсыз, егер және тек қана оның факторлық сақинасы (модульдік арифметиканы қараңыз) өрістердің көбейтіндісі болса. Бұл қытайлық қалдық теоремасынан және формадағы сақинаның егер және тек қана болса ғана өріс болатынынан туындайды. Кез келген оң бүтін сан үшін, оның барлық оң бөлгіштерінің жиыны, егер біз бөлінуді реттік қатынас ретінде қолдансақ, ішінара реттелген жиын болады. Бұл ішінара реттелген жиын әрқашан үлестірімді тор болып табылады. Ол Буль алгебрасы, егер және тек қана квадратсыз болса. Оң бүтін сан егер және тек қана , Мёбиус функциясын білдірсе, квадратсыз болады.
A positive integer is square free if and only if in the prime factorization of , no prime factor occurs with an exponent larger than one. Another way of stating the same is that for every prime factor of , the prime does not evenly divide Also is square free if and only if in every factorization , the factors and are coprime. An immediate result of this definition is that all prime numbers are square free. A positive integer is square free if and only if all abelian groups of order are isomorphic, which is the case if and only if any such group is cyclic. This follows from the classification of finitely generated abelian groups. A integer is square free if and only if the factor ring (see modular arithmetic) is a product of fields. This follows from the Chinese remainder theorem and the fact that a ring of the form is a field if and only if is prime. For every positive integer , the set of all positive divisors of becomes a partially ordered set if we use divisibility as the order relation. This partially ordered set is always a distributive lattice. It is a Boolean algebra if and only if is square free. A positive integer is square free if and only if , where denotes the Möbius function.
Дирихле сериясы
Мёбиус функциясының абсолюттік мәні квадратсыз бүтін сандар үшін индикатор функциясы болып табылады, яғни n квадратсыз болса 1-ге тең, ал болмаса 0-ге тең. Осы индикатор функциясының Дирихле қатары:
The absolute value of the Möbius function is the indicator function for the square free integers – that is, is equal to 1 if n is square free, and 0 if it is not. The Dirichlet series of this indicator function is
мұнда ζ(s) – Риманның зетта функциясы. Бұл Эйлер көбейтіндісінен шығады:
where ζ(s) is the Riemann zeta function. This follows from the Euler product
мұнда көбейтінділер жай сандар бойынша алынады.
where the products are taken over the prime numbers.