Математика и архитектура: связь сквозь века.

Введение

Связь между математикой и архитектурой

Математика и архитектура взаимосвязаны, поскольку архитекторы, как и другие художники, используют математику по нескольким причинам. Помимо математики, необходимой при конструировании зданий, архитекторы применяют геометрию для определения пространственной формы здания; начиная с пифагорейцев в VI веке до нашей эры, для создания форм, считающихся гармоничными, и, таким образом, для планировки зданий и окружающей среды в соответствии с математическими, эстетическими и иногда религиозными принципами; для украшения зданий математическими объектами, такими как тесселяции; и для достижения экологических целей, например, для минимизации скорости ветра у основания высоких зданий. В Древнем Египте, Древней Греции, Индии и исламском мире здания, включая пирамиды, храмы, мечети, дворцы и мавзолеи, возводились с определенными пропорциями по религиозным соображениям. В исламской архитектуре геометрические формы и узоры из геометрической плитки используются для украшения зданий как внутри, так и снаружи. Некоторые индуистские храмы имеют фрактальную структуру, где части напоминают целое, передавая идею бесконечности в индуистской космологии. В китайской архитектуре тулу провинции Фуцзянь представляют собой круглые, общинные оборонительные сооружения. В XXI веке математическая орнаментация вновь используется для облицовки общественных зданий. В архитектуре эпохи Возрождения симметрия и пропорции были намеренно подчеркнуты архитекторами, такими как Леон Баттиста Альберти, Себастьяно Серлио и Андреа Палладио, под влиянием трактата «Де архитектура» Витрувия из Древнего Рима и арифметики пифагорейцев из Древней Греции. В конце XIX века Владимир Шухов в России и Антони Гауди в Барселоне стали пионерами в использовании гиперболоидных конструкций; в храме Саграда Фамилия Гауди также использовал гиперболические параболоиды, тесселяции, цепные арки, катеноиды, геликоиды и развертные поверхности. В XX веке такие стили, как модернизм и деконструктивизм, исследовали различные геометрии для достижения желаемых эффектов. Минимальные поверхности применялись в качестве крыш, напоминающих палатки, например, в Международном аэропорту Денвера, а Ричард Бакминстер Фуллер стал пионером в использовании прочных тонкостенных конструкций, известных как геодезические купола.

Mathematics and architecture are related, since, as with other arts, architects use mathematics for several reasons. Apart from the mathematics needed when engineering buildings, architects use geometry: to define the spatial form of a building; from the Pythagoreans of the sixth century BC onwards, to create forms considered harmonious, and thus to lay out buildings and their surroundings according to mathematical, aesthetic and sometimes religious principles; to decorate buildings with mathematical objects such as tessellations; and to meet environmental goals, such as to minimise wind speeds around the bases of tall buildings. In ancient Egypt, ancient Greece, India, and the Islamic world, buildings including pyramids, temples, mosques, palaces and mausoleums were laid out with specific proportions for religious reasons. In Islamic architecture, geometric shapes and geometric tiling patterns are used to decorate buildings, both inside and outside. Some Hindu temples have a fractal like structure where parts resemble the whole, conveying a message about the infinite in Hindu cosmology. In Chinese architecture, the tulou of Fujian province are circular, communal defensive structures. In the twenty first century, mathematical ornamentation is again being used to cover public buildings. In Renaissance architecture, symmetry and proportion were deliberately emphasized by architects such as Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio and Andrea Palladio, influenced by Vitruvius's De architectura from ancient Rome and the arithmetic of the Pythagoreans from ancient Greece. At the end of the nineteenth century, Vladimir Shukhov in Russia and Antoni Gaudí in Barcelona pioneered the use of hyperboloid structures; in the Sagrada Família, Gaudí also incorporated hyperbolic paraboloids, tessellations, catenary arches, catenoids, helicoids, and ruled surfaces. In the twentieth century, styles such as modern architecture and Deconstructivism explored different geometries to achieve desired effects. Minimal surfaces have been exploited in tent like roof coverings as at Denver International Airport, while Richard Buckminster Fuller pioneered the use of the strong thin shell structures known as geodesic domes.

Связанные поля

Архитекторы Майкл Оствульд и Ким Уильямс, рассматривая взаимосвязь между архитектурой и математикой, отмечают, что эти области, в общепринятом понимании, могут казаться лишь слабо связанными, поскольку архитектура – это профессия, связанная с практическим вопросом возведения зданий, а математика – чистое изучение числа и других абстрактных объектов. Однако, они утверждают, что эти две области тесно связаны и были связаны с древности. В Древнем Риме Витрувий описывал архитектора как человека, обладающего достаточными знаниями в ряде других дисциплин, прежде всего геометрии, чтобы руководить квалифицированными мастерами во всех необходимых областях, таких как каменщики и плотники. То же самое относилось и к Средневековью, где студенты изучали арифметику, геометрию и эстетику наряду с базовым курсом грамматики, логики и риторики (тривиум) в изящных залах, построенных мастерами-строителями, руководившими многими ремесленниками. Мастеру строительства, достигшему вершины своего мастерства, присваивалось звание архитектора или инженера. В эпоху Возрождения квадривиум, включающий арифметику, геометрию, музыку и астрономию, стал дополнительным курсом, ожидаемым от человека эпохи Возрождения, такого как Леон Баттиста Альберти. Аналогично, в Англии сэр Кристофер Рен, известный сегодня как архитектор, изначально был выдающимся астрономом. Уильямс и Оствульд, далее анализируя взаимодействие математики и архитектуры начиная с 1500 года, опираясь на подход немецкого социолога Теодора Адорно, выделяют три тенденции среди архитекторов, а именно: новаторство, заключающееся во внедрении совершенно новых идей; реакционность, проявляющуюся в отсутствии изменений; и ретроспективность, фактически представляющую собой движение назад. Они утверждают, что архитекторы избегали обращения к математике за вдохновением в периоды ретроспективности. Это объясняет, почему в такие периоды, как неоготика в Англии XIX века, архитектура мало связана с математикой. Они также отмечают, что в реакционные периоды, такие как итальянский маньеризм примерно с 1520 по 1580 год или барокко и палладианство XVII века, математика практически не использовалась. В отличие от этого, революционные движения начала XX века, такие как футуризм и конструктивизм, активно отвергали старые идеи, принимая математику и приводя к возникновению модернистской архитектуры. К концу XX века архитекторы также быстро освоили фрактальную геометрию и апериодическую мозаику для создания интересных и привлекательных покрытий зданий. Архитекторы используют математику по нескольким причинам, не считая ее необходимого применения в инженерных расчетах зданий. Во-первых, они используют геометрию, поскольку она определяет пространственную форму здания. Во-вторых, они используют математику для создания форм, которые считаются красивыми или гармоничными. Со времен пифагорейцев с их религиозной философией числа архитекторы в Древней Греции, Древнем Риме, исламском мире и итальянском Ренессансе выбирали пропорции построенной среды – зданий и их окружения – в соответствии с математическими, а также эстетическими и иногда религиозными принципами. В-четвертых, они могут использовать математику в форме компьютерного моделирования для достижения экологических целей, например, для минимизации вихревых воздушных потоков у основания высоких зданий. Так, соотношение ширины к длине базилики составляет 1:2; высота прохода вокруг нее равна ее ширине, 1:1; колонны имеют толщину пять футов и высоту пятьдесят футов, 1:10. Витрувий назвал три качества, необходимые для архитектуры в своем трактате «De architectura», ок. 15 г. до н.э.: прочность, функциональность (или «удобство» в английском переводе Генри Уоттона XVI века) и красота. Эти качества можно использовать в качестве категорий для классификации способов применения математики в архитектуре. Прочность охватывает использование математики для обеспечения устойчивости здания, следовательно, математические инструменты, используемые при проектировании и строительстве, например, для обеспечения стабильности и моделирования производительности. Функциональность частично обусловлена эффективным применением математики, рассуждениями и анализом пространственных и других взаимосвязей в проекте. Красота – это атрибут полученного здания, возникающий в результате воплощения математических соотношений в его структуре; она включает в себя эстетические, чувственные и интеллектуальные качества.

The architects Michael Ostwald and Kim Williams, considering the relationships between architecture and mathematics, note that the fields as commonly understood might seem to be only weakly connected, since architecture is a profession concerned with the practical matter of making buildings, while mathematics is the pure study of number and other abstract objects. But, they argue, the two are strongly connected, and have been since antiquity. In ancient Rome, Vitruvius described an architect as a man who knew enough of a range of other disciplines, primarily geometry, to enable him to oversee skilled artisans in all the other necessary areas, such as masons and carpenters. The same applied in the Middle Ages, where graduates learnt arithmetic, geometry and aesthetics alongside the basic syllabus of grammar, logic, and rhetoric (the trivium) in elegant halls made by master builders who had guided many craftsmen. A master builder at the top of his profession was given the title of architect or engineer. In the Renaissance, the quadrivium of arithmetic, geometry, music and astronomy became an extra syllabus expected of the Renaissance man such as Leon Battista Alberti. Similarly in England, Sir Christopher Wren, known today as an architect, was firstly a noted astronomer. Williams and Ostwald, further overviewing the interaction of mathematics and architecture since 1500 according to the approach of the German sociologist Theodor Adorno, identify three tendencies among architects, namely: to be revolutionary, introducing wholly new ideas; reactionary, failing to introduce change; or revivalist, actually going backwards. They argue that architects have avoided looking to mathematics for inspiration in revivalist times. This would explain why in revivalist periods, such as the Gothic Revival in 19th century England, architecture had little connection to mathematics. Equally, they note that in reactionary times such as the Italian Mannerism of about 1520 to 1580, or the 17th century Baroque and Palladian movements, mathematics was barely consulted. In contrast, the revolutionary early 20th century movements such as Futurism and Constructivism actively rejected old ideas, embracing mathematics and leading to Modernist architecture. Towards the end of the 20th century, too, fractal geometry was quickly seized upon by architects, as was aperiodic tiling, to provide interesting and attractive coverings for buildings. Architects use mathematics for several reasons, leaving aside the necessary use of mathematics in the engineering of buildings. Firstly, they use geometry because it defines the spatial form of a building. Secondly, they use mathematics to design forms that are considered beautiful or harmonious. From the time of the Pythagoreans with their religious philosophy of number, architects in ancient Greece, ancient Rome, the Islamic world and the Italian Renaissance have chosen the proportions of the built environment – buildings and their designed surroundings – according to mathematical as well as aesthetic and sometimes religious principles. Fourthly, they may use mathematics in the form of computer modelling to meet environmental goals, such as to minimise whirling air currents at the base of tall buildings. Thus the Basilica's width to length is 1:2; the aisle around it is as high as it is wide, 1:1; the columns are five feet thick and fifty feet high, 1:10. Vitruvius named three qualities required of architecture in his De architectura, c. 15 B. C.: firmness, usefulness (or "Commodity" in Henry Wotton's 16th century English), and delight. These can be used as categories for classifying the ways in which mathematics is used in architecture. Firmness encompasses the use of mathematics to ensure a building stands up, hence the mathematical tools used in design and to support construction, for instance to ensure stability and to model performance. Usefulness derives in part from the effective application of mathematics, reasoning about and analysing the spatial and other relationships in a design. Delight is an attribute of the resulting building, resulting from the embodying of mathematical relationships in the building; it includes aesthetic, sensual and intellectual qualities.

Пантеон

Пантеон в Риме сохранился нетронутым, являясь наглядным примером классической римской архитектуры, пропорций и декора. Основной конструкцией является купол, вершина которого открыта в виде круглого окула для естественного освещения; перед ним расположена короткая колоннада с треугольным фронтоном. Высота до окула равна диаметру внутреннего круга, поэтому всё внутреннее пространство идеально вписывается в куб, а внутри можно разместить сферу того же диаметра. Эти размеры лучше воспринимаются в древнеримских единицах измерения: размах купола составляет 150 римских футов, диаметр окула – 30 римских футов, высота дверного проёма – 40 римских футов. Пантеон по-прежнему остаётся крупнейшим в мире куполом, построенным из монолитного бетона без армирования.

Ренессанс

Первым трактатом об архитектуре эпохи Возрождения был труд Леона Баттисты Альберти «De re aedificatoria» (Об искусстве строительства) 1450 года, ставший первой печатной книгой по архитектуре в 1485 году. Он был частично основан на «De architectura» Витрувия и, через Никомаха, на пифагорейской арифметике. Альберти начинает с куба и выводит из него соотношения. Таким образом, диагональ грани дает отношение 1:, а диаметр сферы, описанной вокруг куба, – 1:. Альберти также задокументировал открытие Филиппо Брунеллески линейной перспективы, разработанной для создания проектов зданий, которые при взгляде с удобного расстояния выглядели бы гармонично пропорциональными. Следующим важным трудом стала «Regole generali d'architettura» (Общие правила архитектуры) Себастьяно Серлио; первый том был опубликован в Венеции в 1537 году, а том 1545 года (книги 1 и 2) охватывал геометрию и перспективу. Два метода Серлио построения перспективы были ошибочными, но это не помешало широкому использованию его работ. В 1570 году Андреа Палладио опубликовал в Венеции влиятельный труд «I quattro libri dell'architettura» (Четыре книги об архитектуре). Эта широко издаваемая книга во многом способствовала распространению идей итальянского Возрождения по всей Европе, чему помогали сторонники, такие как английский дипломат Генри Уоттон со своим трудом «The Elements of Architecture» 1624 года. Пропорции каждой комнаты в вилле рассчитывались на основе простых математических соотношений, таких как 3:4 и 4:5, а различные комнаты в доме были связаны между собой этими соотношениями. Ранее архитекторы использовали эти формулы для балансировки единого симметричного фасада; однако проекты Палладио относились ко всей, как правило, квадратной, вилле. Палладио допускал различные соотношения в «Quattro libri», утверждая:

В 1615 году Винченцо Скамоцци опубликовал трактат позднего Возрождения «L'idea dell'architettura universale» (Идея универсальной архитектуры). Он попытался связать проектирование городов и зданий с идеями Витрувия и пифагорейцев, а также с более поздними идеями Палладио.

XIX век

Гиперболоидные конструкции стали применяться начиная с конца девятнадцатого века Владимиром Шуховым для строительства мачт, маяков и градирен. Их эффектная форма одновременно эстетически привлекательна и обеспечивает высокую прочность при экономичном использовании строительных материалов. Первая гиперболоидная башня Шухова была продемонстрирована на выставке в Нижнем Новгороде в 1896 году.

Двадцатый век

Движение начала двадцатого века, современная архитектура, пионером которого стал конструктивизм, оказало влияние на Баухаус и Ле Корбюзье, например. Оно использовало прямолинейную геометрию Евклида (также называемую картезианской). В движении De Stijl горизонтальное и вертикальное рассматривались как составляющие универсальное целое. Архитектурная форма состоит в объединении этих двух направленных тенденций посредством плоскостей крыш, стен и балконов, которые либо скользят мимо друг друга, либо пересекаются, как в Доме Риетвельда-Шрёдера 1924 года, спроектированном Герритом Риетвельдом. Архитекторы-модернисты были свободны использовать как кривые, так и плоскости. Станция Арнос 1933 года, спроектированная Чарльзом Холденом, имеет круглое кирпичное здание билетной кассы с плоской бетонной крышей. В 1938 году художник Баухауса Ласло Мохоли-Надь перенял семь биотехнических элементов Рауля Генриха Франсе, а именно: кристалл, сферу, конус, плоскость, (кубическую) полосу, (цилиндрический) стержень и спираль, как предполагаемые основные строительные блоки архитектуры, вдохновлённой природой. Ле Корбюзье предложил антропометрическую шкалу пропорций в архитектуре – Модулор, основанную на предполагаемом росте человека. В 1955 году Ле Корбюзье создал часовню Нотр-Дам-дю-О, используя кривые свободной формы, которые невозможно описать математическими формулами. Считается, что эти формы напоминают природные формы, такие как нос корабля или сложенные в молитве руки. Дизайн реализован только в крупном масштабе: нет иерархии деталей в меньших масштабах и, следовательно, отсутствует фрактальная размерность; то же самое относится и к другим известным зданиям двадцатого века, таким как Сиднейский оперный театр, Международный аэропорт Денвера и Музей Гуггенхайма в Бильбао. Терминал аэропорта Денвера, завершенный в 1995 году, имеет тканевую крышу, поддерживаемую стальными тросами как минимальную поверхность (то есть его средняя кривизна равна нулю). Она вызывает ассоциации со снежными горами Колорадо и вигвамами коренных американцев. Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер известен разработкой прочных тонкостенных конструкций, известных как геодезические купола. Купол Монреальской биосферы имеет высоту ; его диаметр равен . У Сиднейского оперного театра впечатляющая крыша, состоящая из взмывающих ввысь белых сводов, напоминающих паруса корабля. Для обеспечения возможности их строительства из стандартизированных компонентов своды состоят из треугольных секций сферических оболочек с одинаковым радиусом. Они обладают необходимой равномерной кривизной во всех направлениях. Движение деконструктивизма конца двадцатого века создает намеренный беспорядок, используя, по словам Никоса Салингароса в книге «Теория архитектуры», случайные формы высокой сложности, такие как непараллельные стены, наложенные сетки и сложные двухмерные поверхности, как в Концертном зале Диснея Фрэнка Гери и Музее Гуггенхайма в Бильбао. До двадцатого века студенты-архитекторы были обязаны изучать математику. Салингарос утверждает, что сначала «чрезмерно упрощённый и политически мотивированный» модернизм, а затем «антинаучный» деконструктивизм фактически отделили архитектуру от математики. Он считает, что этот «переворот математических ценностей» вреден, поскольку «распространённая эстетика» не математической архитектуры обучает людей «отвергать математическую информацию в окружающей среде»; он утверждает, что это оказывает негативное влияние на общество.

The early twentieth century movement Modern architecture, pioneeredefn|Constructivism influenced Bauhaus and Le Corbusier, for example. used rectilinear Euclidean (also called Cartesian) geometry. In the De Stijl movement, the horizontal and the vertical were seen as constituting the universal. The architectural form consists of putting these two directional tendencies together, using roof planes, wall planes and balconies, which either slide past or intersect each other, as in the 1924 Rietveld Schröder House by Gerrit Rietveld. Modernist architects were free to make use of curves as well as planes. Charles Holden's 1933 Arnos station has a circular ticket hall in brick with a flat concrete roof. In 1938, the Bauhaus painter László Moholy Nagy adopted Raoul Heinrich Francé's seven biotechnical elements, namely the crystal, the sphere, the cone, the plane, the (cuboidal) strip, the (cylindrical) rod, and the spiral, as the supposed basic building blocks of architecture inspired by nature. Le Corbusier proposed an anthropometric scale of proportions in architecture, the Modulor, based on the supposed height of a man. Le Corbusier's 1955 Chapelle Notre Dame du Haut uses free form curves not describable in mathematical formulae. The shapes are said to be evocative of natural forms such as the prow of a ship or praying hands. The design is only at the largest scale: there is no hierarchy of detail at smaller scales, and thus no fractal dimension; the same applies to other famous twentieth century buildings such as the Sydney Opera House, Denver International Airport, and the Guggenheim Museum, Bilbao. Denver International Airport's terminal building, completed in 1995, has a fabric roof supported as a minimal surface (i. e., its mean curvature is zero) by steel cables. It evokes Colorado's snow capped mountains and the teepee tents of Native Americans. The architect Richard Buckminster Fuller is famous for designing strong thin shell structures known as geodesic domes. The Montréal Biosphère dome is high; its diameter is
Sydney Opera House has a dramatic roof consisting of soaring white vaults, reminiscent of ship's sails; to make them possible to construct using standardized components, the vaults are all composed of triangular sections of spherical shells with the same radius. These have the required uniform curvature in every direction. The late twentieth century movement Deconstructivism creates deliberate disorder with what Nikos Salingaros in A Theory of Architecture calls random forms of high complexity by using non parallel walls, superimposed grids and complex 2 D surfaces, as in Frank Gehry's Disney Concert Hall and Guggenheim Museum, Bilbao. Until the twentieth century, architecture students were obliged to have a grounding in mathematics. Salingaros argues that first "overly simplistic, politically driven" Modernism and then "anti scientific" Deconstructivism have effectively separated architecture from mathematics. He believes that this "reversal of mathematical values" is harmful, as the "pervasive aesthetic" of non mathematical architecture trains people "to reject mathematical information in the built environment"; he argues that this has negative effects on society.

Древний Египет

Пирамиды Древнего Египта – это гробницы, построенные с использованием математических пропорций, но какие именно, и применялась ли теорема Пифагора, остаётся предметом дискуссий. Отношение высоты наклона к половине длины основания Великой пирамиды Гизы отличается от золотого сечения менее чем на 1%. Однако, по мнению многих историков науки, золотое сечение было неизвестно до времён пифагорейцев. Пропорции некоторых пирамид могли также основываться на треугольнике 3:4:5 (угол наклона 53°8'), известном из математического папируса Ринда (ок. 1650–1550 гг. до н.э.); впервые это предположил историк Мориц Кантор в 1882 году. Известно, что прямые углы в Древнем Египте точно размечались с помощью узловых верёвок. Историк Роджер Л. Кук отмечает, что «сложно представить, чтобы кто-то интересовался подобными условиями, не зная теоремы Пифагора», но также указывает на то, что ни в одном египетском тексте, датированном периодом до 300 г. до н.э., не упоминается использование теоремы для вычисления длин сторон треугольника, и существуют более простые способы построения прямого угла. Кук заключает, что гипотеза Кантора остаётся недоказанной; он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но «нет никаких свидетельств того, что они использовали её для разметки прямых углов». Тем не менее, ранние строители могли случайно прийти к математическим пропорциям. Математик Жорж Ифра отмечает, что простые «приёмы» с использованием верёвок и колышков позволяют размечать геометрические фигуры, такие как эллипсы и прямые углы. Математика фракталов показала, что универсальная привлекательность и визуальная гармония существующих зданий обусловлены тем, что они обеспечивают зрителю ощущение масштаба на разных расстояниях. Например, в высоких воротах-гопурамах индуистских храмов, таких как храм Вирупакша в Хампи, построенный в VII веке, и других, например, храм Кандария Махадева в Кхаджурахо, части и целое обладают схожим характером, с фрактальной размерностью в диапазоне от 1,7 до 1,8. Группа небольших башен (шихара, буквально «гора») вокруг самой высокой центральной башни, символизирующей священную гору Кайлас, обитель Господа Шивы, отражает бесконечное повторение вселенных в индуистской космологии. Исследователь религии Уильям Дж. Джексон отметил, что структура башен, сгруппированных вокруг меньших башен, которые, в свою очередь, сгруппированы вокруг ещё меньших башен, такова: идеально созданная форма изящно намекает на бесконечно возрастающие уровни существования и сознания, расширяющиеся размеры, стремящиеся к трансцендентности ввысь и одновременно вмещающие священное в своей глубине. Храм Минакши-Амман – это обширный комплекс с множеством святилищ, а улицы Мадурая расположены концентрическими кругами вокруг него в соответствии с шастрами. Четыре воротных башни (гопурамы) имеют фрактальную повторяющуюся структуру, как в Хампи. Ограждения вокруг каждого святилища прямоугольные и окружены высокими каменными стенами.

The pyramids of ancient Egypt are tombs constructed with mathematical proportions, but which these were, and whether the Pythagorean theorem was used, are debated. The ratio of the slant height to half the base length of the Great Pyramid of Giza is less than 1% from the golden ratio. but according to many historians of science, the golden ratio was not known until the time of the Pythagoreans. The proportions of some pyramids may have also been based on the 3:4:5 triangle (face angle 53°8'), known from the Rhind Mathematical Papyrus (c. 1650–1550 BC); this was first conjectured by historian Moritz Cantor in 1882. It is known that right angles were laid out accurately in ancient Egypt using knotted cords for measurement, Historian Roger L. Cooke observes that "It is hard to imagine anyone being interested in such conditions without knowing the Pythagorean theorem," but also notes that no Egyptian text before 300 BC actually mentions the use of the theorem to find the length of a triangle's sides, and that there are simpler ways to construct a right angle. Cooke concludes that Cantor's conjecture remains uncertain; he guesses that the ancient Egyptians probably knew the Pythagorean theorem, but "there is no evidence that they used it to construct right angles." However, early builders may have come upon mathematical proportions by accident. The mathematician Georges Ifrah notes that simple "tricks" with string and stakes can be used to lay out geometric shapes, such as ellipses and right angles. The mathematics of fractals has been used to show that the reason why existing buildings have universal appeal and are visually satisfying is because they provide the viewer with a sense of scale at different viewing distances. For example, in the tall gopuram gatehouses of Hindu temples such as the Virupaksha Temple at Hampi built in the seventh century, and others such as the Kandariya Mahadev Temple at Khajuraho, the parts and the whole have the same character, with fractal dimension in the range 1.7 to 1.8. The cluster of smaller towers (shikhara, lit. 'mountain') about the tallest, central, tower which represents the holy Mount Kailash, abode of Lord Shiva, depicts the endless repetition of universes in Hindu cosmology. The religious studies scholar William J. Jackson observed of the pattern of towers grouped among smaller towers, themselves grouped among still smaller towers, that:

The ideal form gracefully artificed suggests the infinite rising levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within. The Meenakshi Amman Temple is a large complex with multiple shrines, with the streets of Madurai laid out concentrically around it according to the shastras. The four gateways are tall towers (gopurams) with fractal like repetitive structure as at Hampi. The enclosures around each shrine are rectangular and surrounded by high stone walls.

Древняя Греция

Пифагор (ок. 569 – ок. 475 до н. э.) и его последователи, пифагорейцы, считали, что «все есть числа». Они наблюдали гармонию, возникающую при звучании нот с определенными небольшими целочисленными соотношениями частот, и утверждали, что здания также следует проектировать, используя подобные соотношения. Греческое слово «симметрия» изначально обозначало гармонию архитектурных форм в точных пропорциях – от мельчайших деталей здания до его общего дизайна. Парфенон имеет длину, ширину и высоту до карниза. Это дает соотношение ширины к длине 4:9, и такое же для высоты к ширине. Объединение этих соотношений дает высоту:ширину:длину 16:36:81, или, к радости пифагорейцев, 42:62:92. Это определяет модуль в 0,858 м. Прямоугольник с соотношением сторон 4:9 можно построить из трех соединенных прямоугольников со сторонами в соотношении 3:4. Каждый из этих полупрямоугольников представляет собой удобный прямоугольный треугольник 3:4:5, позволяющий проверять углы и стороны с помощью веревки с соответствующими узлами. Внутреннее пространство (наос) также имеет пропорции 4:9 (ширина 48,3 м, длина). Соотношение между диаметром внешних колонн, , и расстоянием между их центрами, , также равно 4:9. Энтазис – это тонкое уменьшение диаметра колонн по мере их подъема. Стилобат – это платформа, на которой стоят колонны. Как и в других классических греческих храмах, платформа имеет небольшую параболическую кривизну вверх для стока дождевой воды и повышения устойчивости здания к землетрясениям. Можно предположить, что колонны наклонены наружу, но на самом деле они слегка наклонены внутрь, так что, если бы они продолжались, они бы встретились примерно в полутора километрах над центром здания. Поскольку все колонны имеют одинаковую высоту, кривизна внешнего края стилобата передается на архитрав и крышу: «все подчиняются правилу построения по изящным кривым». Золотое сечение было известно в 300 г. до н. э., когда Евклид описал метод его геометрического построения. Утверждалось, что золотое сечение использовалось при проектировании Парфенона и других древнегреческих зданий, а также скульптур, картин и ваз. Однако более поздние авторы, такие как Никос Салингарос, ставят под сомнение все эти утверждения. Эксперименты ученого-компьютера Джорджа Марковского не выявили предпочтения к золотому прямоугольнику.

Pythagoras (c. 569 – c. 475 B. C.) and his followers, the Pythagoreans, held that "all things are numbers". They observed the harmonies produced by notes with specific small integer ratios of frequency, and argued that buildings too should be designed with such ratios. The Greek word symmetria originally denoted the harmony of architectural shapes in precise ratios from a building's smallest details right up to its entire design. The Parthenon is long, wide and high to the cornice. This gives a ratio of width to length of 4:9, and the same for height to width. Putting these together gives height:width:length of 16:36:81, or to the delight of the Pythagoreans 42:62:92. This sets the module as 0.858 m. A 4:9 rectangle can be constructed as three contiguous rectangles with sides in the ratio 3:4. Each half rectangle is then a convenient 3:4:5 right triangle, enabling the angles and sides to be checked with a suitably knotted rope. The inner area (naos) similarly has 4:9 proportions ( wide by 48.3 m long); the ratio between the diameter of the outer columns, , and the spacing of their centres, , is also 4:9. Entasis refers to the subtle diminution in diameter of the columns as they rise. The stylobate is the platform on which the columns stand. As in other classical Greek temples, the platform has a slight parabolic upward curvature to shed rainwater and reinforce the building against earthquakes. The columns might therefore be supposed to lean outwards, but they actually lean slightly inwards so that if they carried on, they would meet about a kilometre and a half above the centre of the building; since they are all the same height, the curvature of the outer stylobate edge is transmitted to the architrave and roof above: "all follow the rule of being built to delicate curves". The golden ratio was known in 300 B. C., when Euclid described the method of geometric construction. It has been argued that the golden ratio was used in the design of the Parthenon and other ancient Greek buildings, as well as sculptures, paintings, and vases. More recent authors such as Nikos Salingaros, however, doubt all these claims. Experiments by the computer scientist George Markowsky failed to find any preference for the golden rectangle.

Исламская архитектура

Историк исламского искусства Антонио Фернандес Пуэртас предполагает, что Альгамбра, как и Великая мечеть Кордобы, была спроектирована с использованием испано-мусульманской стопы или кодо примерно в . Во Дворце Львов пропорции соответствуют ряду иррациональных чисел. Прямоугольник со сторонами 1 и (по теореме Пифагора) имеет диагональ , которая описывает прямоугольный треугольник, образованный сторонами двора; ряд продолжается с (что дает соотношение 1:2), и так далее. Декоративные узоры пропорциональны таким же образом, создавая квадраты внутри кругов и восьмиконечные звезды, создавая шестиконечные звезды. Нет никаких доказательств, подтверждающих более ранние утверждения об использовании золотого сечения в Альгамбре. Дворец Львов заключен между Залом Двух Сестер и Залом Абенсерражей; правильный шестиугольник можно построить, соединив центры этих двух залов и четыре внутренних угла Дворца Львов. Мечеть Селимие в Эдирне, Турция, была построена Мимаром Синаном с целью создания пространства, где михраб был бы виден из любой точки внутри здания. Соответственно, очень большое центральное пространство организовано в виде восьмиугольника, образованного восемью огромными столбами и увенчанного круглой куполом диаметром и высотой . Восьмиугольник переходит в квадрат с четырьмя полукуполами, а снаружи – четырьмя исключительно высокими минаретами высотой . Таким образом, план здания представляет собой круг, вписанный в восьмиугольник, вписанный в квадрат.

Архитектура Моголов

Архитектура Моголов, как видно из заброшенного имперского города Фатепур-Сикри и комплекса Тадж-Махал, отличается выраженным математическим порядком и сильной эстетикой, основанной на симметрии и гармонии. Тадж-Махал является квинтэссенцией могольской архитектуры, одновременно представляя собой рай и демонстрируя мощь императора Шах-Джахана благодаря своему масштабу, симметрии и дорогостоящему убранству. Белый мраморный мавзолей, украшенный пиетрой дурой, величественные ворота (Darwaza i rauza), другие постройки, сады и дорожки вместе формируют единый иерархический ансамбль. Комплекс включает в себя мечеть из красного песчаника, расположенную на западе, и почти идентичное здание – Джаваб, или «ответ», на востоке, призванные поддерживать билатеральную симметрию комплекса. Формальный чарбаг («четырехчастный сад») разделен на четыре части, символизирующие четыре реки Рая, и открывает виды и отражения мавзолея. Эти части, в свою очередь, разделены на 16 партерров. Комплекс Тадж-Махала был спроектирован на основе сетки, разделенной на более мелкие ячейки. Историки архитектуры Кох и Барро согласны с традиционными сведениями, указывающими на ширину комплекса в 374 могольских ярда или газа, при этом основная площадь состоит из трех квадратов по 374 газа. Эти площади были разделены на участки, такие как базар и караван-сарай, модулями по 17 газов; сад и террасы организованы модулями по 23 газа и имеют ширину 368 газов (16 x 23). Мавзолей, мечеть и гостевой дом расположены на сетке с шагом 7 газов. Кох и Барро отмечают, что если восьмиугольник, часто используемый в комплексе, имеет стороны длиной 7 единиц, то его ширина составляет 17 единиц, что может объяснить выбор пропорций в комплексе.

Христианская архитектура

Христианская патриархальная базилика Святой Софии в Византии (ныне Стамбул), впервые построенная в 537 году (и дважды перестроенная), на протяжении тысячи лет была самым большим собором, когда-либо возведенным. Она вдохновила множество последующих построек, включая мечеть Султана Ахмеда и другие мечети города. Византийская архитектура характеризуется нефом, увенчанным круглой куполом и двумя полукуполами одинакового диаметра, а также пятью меньшими полукуполами, формирующими апсиду и четыре закругленных угла огромного прямоугольного пространства. Средневековые архитекторы интерпретировали это как отражение земного мира внизу (квадратное основание) и божественных небес наверху (возвышающийся сферический купол). Император Юстиниан привлек к проектированию двух геометров – Исидора Милетского и Антемия Тралльского; Исидор собрал труды Архимеда по стереометрии и находился под его влиянием. Важность водного крещения в христианстве отразилась в масштабах архитектуры баптистериев. Старейший из них, Латеранский баптистерий в Риме, построенный в 440 году, задал тенденцию к восьмиугольным баптистериям; купель внутри этих зданий часто имела восьмиугольную форму, хотя самый большой баптистерий Италии, в Пизе, построенный между 1152 и 1363 годами, имеет круглую форму с восьмиугольной купелью. Он высок, диаметром (в соотношении 8:5). Святой Амвросий писал, что купели и баптистерии были восьмиугольными "потому что на восьмой день". Библиотека Кадзуми Кудо в Каназаве Умимайра создает декоративную сетку из небольших круглых стеклянных блоков, встроенных в простые бетонные стены. Архитектурный историк Зигфрид Гидион утверждал, что звездные фортификационные сооружения оказали формирующее влияние на планировку идеального города эпохи Возрождения: "Эпоха Возрождения была очарована одним типом города, который на протяжении полутора веков – от Филарете до Скамоцци – был воплощен во всех утопических проектах: это город в форме звезды".

Китай

В китайской архитектуре тулу провинции Фуцзянь – это круглые, общинные оборонительные сооружения, в основном с глухими стенами и единственной железной дверью, укрепленной деревом, некоторые из которых датируются XVI веком. Стены завершаются крышами, плавно наклонёнными как наружу, так и внутрь, формируя кольцо. В центре круга расположен открытый мощеный двор, часто с колодцем, окружённый деревянными галереями высотой до пяти этажей.

Цели в области охраны окружающей среды

Архитекторы также могут выбирать форму здания для достижения экологических целей. Например, 30 St Mary Axe в Лондоне, известный как "Огурец" из-за своей огуречной формы, является телом вращения, спроектированным с использованием параметрического моделирования. Его геометрия была выбрана не только из эстетических соображений, но и для минимизации вихревых воздушных потоков у основания. Несмотря на кажущуюся изогнутую поверхность здания, все стеклянные панели, формирующие его оболочку, плоские, за исключением линзы наверху. Большинство панелей – четырехугольники, поскольку их можно вырезать из прямоугольного стекла с меньшими отходами, чем из треугольных панелей. Традиционный яхчал (ледяной погреб) в Персии функционировал как испарительный охладитель. Над землей конструкция имела куполообразную форму, но располагала подземным хранилищем для льда, а иногда и продуктов питания. Подземное пространство и толстая теплоизоляционная конструкция обеспечивали изоляцию хранилища круглый год. Внутреннее пространство часто дополнительно охлаждалось с помощью бадгиров (ветроуловителей).