Математика мен архитектура: Өнер мен ғылымның байланысы

Кіріспе

Математика мен сәулет арасындағы байланыс

Математика мен сәулет өзара байланысты, себебі сәулетшілер, басқа өнер салаларындағы сияқты, математиканы бірнеше себепке байланысты пайдаланады. Ғимараттарды инженерлік тұрғысынан жобалау үшін қажетті математикадан өзге, сәулетшілер геометрияны қолданады: ғимараттың кеңістіктік пішінін анықтау үшін; біздің заманымыздан бұрын VI ғасырдағы Пифагордан бастап, үйлесімді деп есептелетін пішіндерді жасау және осылайша ғимараттар мен олардың айналасын математикалық, эстетикалық және кейде діни қағидаларға сәйкес орналастыру үшін; ғимараттарды математикалық нысандармен, мысалы, тесселяциялармен безендіру үшін; және экологиялық мақсаттарға жету үшін, мысалы, биік ғимараттардың негізіндегі жел жылдамдығын азайту үшін. Ежелгі Египетте, ежелгі Грецияда, Үндістанда және Ислам әлемінде пирамидалар, храмдар, мешіттер, сарайлар және мавзолейлер сияқты ғимараттар діни себептермен нақты пропорциялармен салынды. Ислам сәулетінде геометриялық пішіндер мен геометриялық плитка үлгілері ғимараттарды ішкі және сыртқы жағынан безендіру үшін қолданылады. Кейбір индуист храмдарында фракталды құрылым бар, онда бөліктері тұтасқа ұқсайды, бұл индуист космологиясындағы шексіздік туралы хабарды жеткізеді. Қытай сәулетінде Фуцзянь провинциясының тулулары дөңгелек, қоғамдық қорғаныс құрылыстары болып табылады. ХХІ ғасырда математикалық әшекейлеулер қоғамдық ғимараттарды жабу үшін қайта қолданылуда. Ренессанс сәулетінде симметрия мен пропорция Леон Баттиста Альберти, Себастьяно Серлио және Андреа Палладио сияқты сәулетшілермен әдейілеп баса көрсетілді, оларға ежелгі Римдегі Витрувийдің «Сәулет туралы» еңбегі және ежелгі Грециядағы Пифагорлардың арифметикасы әсер етті. ХІХ ғасырдың соңында Ресейдегі Владимир Шухов және Барселонадағы Антони Гауди гиперболоидты құрылымдарды қолданудың алғашқыларын жасады; Саграда Фамилияда Гауди гиперболалық параболоидтарды, тесселяцияларды, катенариялық аркаларды, катеноидтарды, геликоидтарды және басқарылатын беттерді енгізді. ХХ ғасырда модернизм және деконструктивизм сияқты стильдер қажетті әсерлерге жету үшін әртүрлі геометрияларды зерттеді. Денвер халықаралық әуежайындағы сияқты шатыр тәрізді жабындар үшін ең аз беттер пайдаланылды, ал Ричард Бакминстер Фуллер геодезиялық күмбездер деп аталатын берік, жұқа қабықшалы құрылымдарды қолданудың алғашқыларын жасады.

Mathematics and architecture are related, since, as with other arts, architects use mathematics for several reasons. Apart from the mathematics needed when engineering buildings, architects use geometry: to define the spatial form of a building; from the Pythagoreans of the sixth century BC onwards, to create forms considered harmonious, and thus to lay out buildings and their surroundings according to mathematical, aesthetic and sometimes religious principles; to decorate buildings with mathematical objects such as tessellations; and to meet environmental goals, such as to minimise wind speeds around the bases of tall buildings. In ancient Egypt, ancient Greece, India, and the Islamic world, buildings including pyramids, temples, mosques, palaces and mausoleums were laid out with specific proportions for religious reasons. In Islamic architecture, geometric shapes and geometric tiling patterns are used to decorate buildings, both inside and outside. Some Hindu temples have a fractal like structure where parts resemble the whole, conveying a message about the infinite in Hindu cosmology. In Chinese architecture, the tulou of Fujian province are circular, communal defensive structures. In the twenty first century, mathematical ornamentation is again being used to cover public buildings. In Renaissance architecture, symmetry and proportion were deliberately emphasized by architects such as Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio and Andrea Palladio, influenced by Vitruvius's De architectura from ancient Rome and the arithmetic of the Pythagoreans from ancient Greece. At the end of the nineteenth century, Vladimir Shukhov in Russia and Antoni Gaudí in Barcelona pioneered the use of hyperboloid structures; in the Sagrada Família, Gaudí also incorporated hyperbolic paraboloids, tessellations, catenary arches, catenoids, helicoids, and ruled surfaces. In the twentieth century, styles such as modern architecture and Deconstructivism explored different geometries to achieve desired effects. Minimal surfaces have been exploited in tent like roof coverings as at Denver International Airport, while Richard Buckminster Fuller pioneered the use of the strong thin shell structures known as geodesic domes.

Байланысты өрістер

Архитекторлар Майкл Оствульд және Ким Уильямс сәулет және математика арасындағы қарым-қатынасты қарастыра отырып, олардың бұл салалар көбінесе тек әлсіз байланысқандай көрінетінін айтады, себебі сәулет – ғимараттар салудың практикалық мәселесімен айналысатын мамандық, ал математика – сан мен басқа да абстракт ұғымдарды зерттейтін таза ғылым. Бірақ, олардың пікірінше, екеуі де тығыз байланысты және ежелден бері сонысы келіп келеді. Ежелгі Римде Витрувий сәулетшіні басқа да ғылымдарды, әсіресе геометрияны жеткілікті меңгерген адам деп сипаттаған, осы білімі арқасында ол тас қалаушылар мен ағаш шеберлері сияқты шеберлердің жұмысын қадағалай алатын еді. Орта ғасырларда да осылай болды, онда бітірушілер грамматика, логика және риториканың негізгі курстарын (тривиум) оқығанмен қатар, арифметика, геометрия және эстетиканы да үйренді, ал бұл сабақтарды шебер құрылысшылар салған әсем залдарда өткізді. Кәсіби шебер құрылысшыға сәулетші немесе инженер деген атақ берілетін. Ренессанс дәуірінде арифметика, геометрия, музыка және астрономияны қамтитын квадривиум Ренессанс адамдарынан, мысалы, Леон Баттиста Альбертиден күтілетін қосымша білім саласы болды. Англияда да, бүгінде сәулетші ретінде танымал Кристофер Рен алдымен белгілі астроном болған. Уильямс пен Оствульд, неміс социологы Теодор Адорноның тәсіліне сәйкес, 1500 жылдан бері математика мен сәулеттің өзара әрекеттесуін қарастыра отырып, сәулетшілер арасында үш тенденцияны анықтайды: революциялық болу, мүлдем жаңа идеяларды енгізу; реакциялық болу, өзгерістерді енгізе алмау; немесе консервативтік болу, тіпті кері қадам жасау. Олардың пікірінше, сәулетшілер консервативтік кезеңдерде математикадан шабыт алудан жаңылған. Бұл 19 ғасыр Англиясындағы неоготикалық стиль сияқты консервативтік кезеңдерде сәулеттің математикамен байланысының нашар болуын түсіндіреді. Сонымен қатар, олар 1520-1580 жылдардағы итальяндық маньеризм немесе 17 ғасырдың барокко және палладиандық қозғалыстары сияқты реакциялық кезеңдерде математикаға көбінесе жүгінбегенін атап көрсетеді. Керісінше, 20 ғасырдың басындағы футуризм және конструктивізм сияқты революциялық қозғалыстар ескі идеяларды жатқызып, математиканы қабылдап, модернистік сәулетке жол ашты. 20 ғасырдың соңында архитекторлар фракталды геометрияны және апериодты мозаикаларды ғимараттарға қызықты және тартымды жабындылар жасау үшін жылдам пайдаланды. Архитекторлар математиканы бірнеше себептерге байланысты қолданады, ғимараттарды инженерлік тұрғысынан жобалауда математиканың қажеттілігін ескермесек. Біріншіден, олар геометрияны қолданады, өйткені ол ғимараттың кеңістіктік пішінін анықтайды. Екіншіден, олар математиканы әдемі немесе үйлесімді деп саналатын формаларды жобалау үшін қолданады. Пифагорлықтардың сан туралы діни философиясынан бастап, ежелгі Греция, ежелгі Рим, ислам әлемі және итальяндық Ренессанс сәулетшілері салынған ортаның пропорцияларын – ғимараттар мен олардың жобаланған айналасын – математикалық, сондай-ақ эстетикалық және кейде діни принциптерге сәйкес таңдады. Төртіншіден, олар компьютерлік модельдеу түрінде математиканы қолдана отырып, экологиялық мақсаттарға жетуі мүмкін, мысалы, биік ғимараттардың түбінде айналып жатқан ауа ағынын азайту. Осылайша, базиликаның ені мен ұзындығы 1:2 арақатынасында; оның айналасындағы дәліз енімен бірдей, 1:1; бағаналардың қалыңдығы бес фут, ал биіктігі елу фут, 1:10. Витрувий өзінің «Сәулет туралы» еңбегінде (б.з.д. 15 ж.) сәулеттен талап етілетін үш қасиетті атады: беріктік, пайдалылық (немесе Генри Воттонның 16 ғасырғы ағылшын тіліндегі «қолайлылық») және әдемілік. Бұларды математиканың сәулетте қолданылу жолдарын жіктеу үшін категориялар ретінде пайдалануға болады. Беріктік – ғимараттың тұруын қамтамасыз ету үшін математиканы қолдану, сондықтан жобалауда және құрылысты қолдау үшін, мысалы, тұрақтылықты қамтамасыз ету және өнімділікті модельдеу үшін қолданылатын математикалық құралдар. Пайдалылық – математиканы тиімді қолданудан, дизайндағы кеңістіктік және басқа да қатынастарды талдаудан туындайды. Әдемілік – бұл математикалық қатынастарды ғимаратқа енгізуден туындайтын, нәтижесінде пайда болған ғимараттың атрибуты; ол эстетикалық, сезімтал және интеллектуалды қасиеттерді қамтиды.

The architects Michael Ostwald and Kim Williams, considering the relationships between architecture and mathematics, note that the fields as commonly understood might seem to be only weakly connected, since architecture is a profession concerned with the practical matter of making buildings, while mathematics is the pure study of number and other abstract objects. But, they argue, the two are strongly connected, and have been since antiquity. In ancient Rome, Vitruvius described an architect as a man who knew enough of a range of other disciplines, primarily geometry, to enable him to oversee skilled artisans in all the other necessary areas, such as masons and carpenters. The same applied in the Middle Ages, where graduates learnt arithmetic, geometry and aesthetics alongside the basic syllabus of grammar, logic, and rhetoric (the trivium) in elegant halls made by master builders who had guided many craftsmen. A master builder at the top of his profession was given the title of architect or engineer. In the Renaissance, the quadrivium of arithmetic, geometry, music and astronomy became an extra syllabus expected of the Renaissance man such as Leon Battista Alberti. Similarly in England, Sir Christopher Wren, known today as an architect, was firstly a noted astronomer. Williams and Ostwald, further overviewing the interaction of mathematics and architecture since 1500 according to the approach of the German sociologist Theodor Adorno, identify three tendencies among architects, namely: to be revolutionary, introducing wholly new ideas; reactionary, failing to introduce change; or revivalist, actually going backwards. They argue that architects have avoided looking to mathematics for inspiration in revivalist times. This would explain why in revivalist periods, such as the Gothic Revival in 19th century England, architecture had little connection to mathematics. Equally, they note that in reactionary times such as the Italian Mannerism of about 1520 to 1580, or the 17th century Baroque and Palladian movements, mathematics was barely consulted. In contrast, the revolutionary early 20th century movements such as Futurism and Constructivism actively rejected old ideas, embracing mathematics and leading to Modernist architecture. Towards the end of the 20th century, too, fractal geometry was quickly seized upon by architects, as was aperiodic tiling, to provide interesting and attractive coverings for buildings. Architects use mathematics for several reasons, leaving aside the necessary use of mathematics in the engineering of buildings. Firstly, they use geometry because it defines the spatial form of a building. Secondly, they use mathematics to design forms that are considered beautiful or harmonious. From the time of the Pythagoreans with their religious philosophy of number, architects in ancient Greece, ancient Rome, the Islamic world and the Italian Renaissance have chosen the proportions of the built environment – buildings and their designed surroundings – according to mathematical as well as aesthetic and sometimes religious principles. Fourthly, they may use mathematics in the form of computer modelling to meet environmental goals, such as to minimise whirling air currents at the base of tall buildings. Thus the Basilica's width to length is 1:2; the aisle around it is as high as it is wide, 1:1; the columns are five feet thick and fifty feet high, 1:10. Vitruvius named three qualities required of architecture in his De architectura, c. 15 B. C.: firmness, usefulness (or "Commodity" in Henry Wotton's 16th century English), and delight. These can be used as categories for classifying the ways in which mathematics is used in architecture. Firmness encompasses the use of mathematics to ensure a building stands up, hence the mathematical tools used in design and to support construction, for instance to ensure stability and to model performance. Usefulness derives in part from the effective application of mathematics, reasoning about and analysing the spatial and other relationships in a design. Delight is an attribute of the resulting building, resulting from the embodying of mathematical relationships in the building; it includes aesthetic, sensual and intellectual qualities.

Пантеон

Римдегі Пантеон зақымдалмаған күйде сақталған, классикалық римдік құрылымның, пропорциялардың және әшекейлеудің жарқын мысалы. Басты құрылымы – күмбез, шыңы жарық кіргізу үшін дөңгелек окулус ретінде ашық қалдырылған; алдында үшбұрышты фронтонмен қысқа колоннада орналасқан. Окулусқа дейінгі биіктік және ішкі шеңбердің диаметрі бірдей, сондықтан бүкіл ішкі кеңістік кубтың ішіне дәл сыйып, ішінде сол диаметрдегі шар орналаса алады. Бұл өлшемдер ежелгі римдік өлшем бірліктерінде көрсетілгенде толыққанды түсінікті болады: күмбез 150 римдік футқа дейін созылады, окулустың диаметрі 30 римдік фут, ал есіктің биіктігі 40 римдік фут. Пантеон әлемдегі ең үлкен нығайтылмаған бетон күмбез болып табылады.

Қайта өрлеу дәуірі

Ренассанс дәуірінің сәулет өнері туралы алғашқы трактаты Леон Баттиста Альбертидің 1450 жылы жарық көрген «De re aedificatoria» (Құрылыс өнері туралы) еңбегі болды; ол 1485 жылы сәулет өнері туралы алғашқы басылған кітапқа айналды. Ол ішінара Витрувийдің «Де архитектура» және Никомах арқылы Пифагор арифметикасына негізделген. Альберти текшеден бастайды және одан қатынастарды тудырады. Осылайша, жағының диагоналі 1: қатынасын, ал текшені сырттан қоршаған сфераның диаметрі 1: қатынасын береді. Альберти сондай-ақ Филиппо Брунеллескидің сызықтық перспективаны ашқандығын құжаттады, ол ғимараттарды ыңғайлы қашықтықтан көрінгенде әдемі пропорцияланған етіп жобалауға мүмкіндік берді. Келесі маңызды мәтін – Себастьяно Серлионың «Regole generali d'architettura» (Сәулеттің жалпы ережелері) еңбегі; оның бірінші томы 1537 жылы Венецияда жарық көрді; 1545 жылғы томы (1 және 2 кітаптар) геометрия және перспективаны қамтыды. Серлионың перспектива құрастырудың екі әдісі дұрыс болмады, бірақ бұл оның еңбегінің кеңінен қолданылуына кедергі болмады. 1570 жылы Андреа Палладио Венецияда «I quattro libri dell'architettura» (Сәулеттің төрт кітабы) атты ықпалды еңбегін жариялады. Бұл кең таралған кітап итальяндық Ренессанс идеяларын Еуропаға таратуға үлкен үлес қосты, мұнда ағылшын дипломаты Генри Воттонның 1624 жылы жарық көрген «Сәулет элементтері» сияқты жақтастары көмектесті. Вилланың әр бөлмесінің пропорциялары 3:4 және 4:5 сияқты қарапайым математикалық қатынастар бойынша есептелді, ал үй ішіндегі әртүрлі бөлмелер осы қатынастар арқылы байланысты болды. Бұрынғы сәулетшілер осы формулаларды бір симметриялық фасады теңгерту үшін қолданған; алайда Палладионың жобалары көбінесе шаршы пішіндес вилланың тұтас құрылысына қатысты. Палладио «Quattro libri» кітабында түрлі қатынастарға рұқсат берді: 1615 жылы Винченцо Скамоцци «L'idea dell'architettura universale» (Жалпы сәулет идеясы) атты кешкі Ренессанс трактатын жариялады. Ол қалалар мен ғимараттардың дизайнын Витрувий және Пифагор идеяларымен, сондай-ақ Палладионың соңғы идеяларымен байланыстыруға тырысты.

The first Renaissance treatise on architecture was Leon Battista Alberti's 1450 De re aedificatoria (On the Art of Building); it became the first printed book on architecture in 1485. It was partly based on Vitruvius's De architectura and, via Nicomachus, Pythagorean arithmetic. Alberti starts with a cube, and derives ratios from it. Thus the diagonal of a face gives the ratio 1:, while the diameter of the sphere which circumscribes the cube gives 1:. Alberti also documented Filippo Brunelleschi's discovery of linear perspective, developed to enable the design of buildings which would look beautifully proportioned when viewed from a convenient distance.]] The next major text was Sebastiano Serlio's Regole generali d'architettura (General Rules of Architecture); the first volume appeared in Venice in 1537; the 1545 volume (books1 and 2) covered geometry and perspective. Two of Serlio's methods for constructing perspectives were wrong, but this did not stop his work being widely used. In 1570, Andrea Palladio published the influential I quattro libri dell'architettura (The Four Books of Architecture) in Venice. This widely printed book was largely responsible for spreading the ideas of the Italian Renaissance throughout Europe, assisted by proponents like the English diplomat Henry Wotton with his 1624 The Elements of Architecture. The proportions of each room within the villa were calculated on simple mathematical ratios like 3:4 and 4:5, and the different rooms within the house were interrelated by these ratios. Earlier architects had used these formulas for balancing a single symmetrical facade; however, Palladio's designs related to the whole, usually square, villa. Palladio permitted a range of ratios in the Quattro libri, stating:

In 1615, Vincenzo Scamozzi published the late Renaissance treatise L'idea dell'architettura universale (The Idea of a Universal Architecture). He attempted to relate the design of cities and buildings to the ideas of Vitruvius and the Pythagoreans, and to the more recent ideas of Palladio.

XIX ғасыр

Гиперболоидты құрылымдар XIX ғасырдың соңына қарай Владимир Шухов мачталар, маяктар және салқындату мұнаралары үшін қолдана бастады. Олардың ерекше пішіні эстетикалық тұрғыдан тартымды әрі берік, сонымен қатар құрылыс материалдарын тиімді пайдалануға мүмкіндік береді. Шуховтың алғашқы гиперболоидты мұнарасы 1896 жылы Нижний Новгородта көрмеге қойылған.

ХХ ғасыр

ХХ ғасырдың басындағы қазіргі заманғы архитектура қозғалысы, Баухаус пен Ле Корбюзьеге ықпал еткен конструктивизмнің негізін қалаушылар. тік сызықты Евклидтік (Картезиандық деп те аталады) геометрияны қолданды. Де Стиль қозғалысында горизонталь мен вертикаль әмбебапты құрайтын болып көрінді. Архитектуралық форма осы екі бағыттың үйлесімінен тұрады, шатырдың, қабырғаның және балкондардың жазықтықтарын пайдалана отырып, олар бір-бірін қиып немесе қабаттап өтеді, мысалы, 1924 жылғы Геррит Ритьвельдтің Ритьвельд Шрёдер үйінде. Модернист сәулетшілер қисықтарды да, жазықтықтарды да еркін пайдалана алды. Чарльз Холденнің 1933 жылғы Арнос станциясында кірпіштен жасалған дөңгелек билет залы және жалпақ бетон шатыры бар. 1938 жылы Баухаус суретшісі Ласло Мохоли-Надь Рауль Генрих Франсенің жеті биотехникалық элементін – кристалл, сфера, конус, жазықтық, (кубоидты) жолақ, (цилиндрлік) таяқ және спиральді – табиғаттан шабыттанған архитектураның негізгі құрылыс блоктары ретінде қабылдады. Ле Корбюзье архитектурадағы пропорциялардың антропометриялық шкаласын, адамның бойына негізделген Модулорды ұсынды. Ле Корбюзьенің 1955 жылғы Нотр-Дам-дю-Хау капелі математикалық формулалармен сипатталмайтын еркін пішінді қисықтарды қолданады. Пішіндер кеме мұрты немесе дұға ететін қолдар сияқты табиғи формаларды еске түсіреді. Дизайн тек ірі масштабта жүзеге асырылған: кіші масштабта егжей-тегжейлі иерархия жоқ, сондықтан фракталдық өлшем де жоқ; осыған ұқсас нәрсе Сидней опера театры, Денвер халықаралық әуежайы және Бильбаодағы Гуггенхайм мұражайы сияқты ХХ ғасырдың басқа да әйгілі ғимараттарында да кездеседі. 1995 жылы аяқталған Денвер халықаралық әуежайының терминалы матадан жасалған шатырға ие, ол ең аз беткейлі (яғни орташа қисықтығы нөлге тең) болат кабельдермен демеліп тұр. Бұл сурет Колорадоның қарлы тауларын және америкалық үндістердің киіз үйлерін еске салады. Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер беріктігімен және жеңілдігімен ерекшеленетін геодезиялық күмбездер деп аталатын қабықша құрылымдарды жобалаумен танымал. Монреаль биосферасының күмбезінің биіктігі алты жиырма метр, диаметрі – Сидней опера театрының кеме желкендерін еске түсіретін, аппақ күмбездерден тұратын таңғажайып шатыры бар; оларды стандартталған компоненттерді пайдаланып салу үшін күмбездер бірдей радиусы бар шар тәрізді қабықтардың үшбұрышты бөліктерінен құралған. Бұлардың барлық бағыттарында бірдей қисықтық сақталған. ХХ ғасырдың соңындағы деконструктивизм қозғалысы Никос Салингарос «Архитектура теориясы» еңбегінде параллель емес қабырғалар, қабаттасқан торлар және күрделі 2D беттерді пайдалану арқылы жоғары күрделіліктің кездейсоқ формаларын тудырады, мысалы, Франк Геридің Дисней концерт залы мен Бильбаодағы Гуггенхайм мұражайында. ХХ ғасырға дейін архитектура студенттері математикадан негізгі білім алуға міндетті болды. Салингарос алдымен «әдемі қарапайым, саяси мақсатқа бағытталған» модернизм, содан кейін «ғылымға қарсы» деконструктивизм архитектураны математикадан тиімді түрде ажыратқан деп санайды. Оның пікірінше, бұл «математикалық құндылықтардың өзгеруі» зиянды, өйткені математикалық емес архитектураның «жалпыға ортақ эстетикасы» адамдарды «құрылыстағы математикалық ақпаратты қабылдамауға» үйретеді; ол бұл қоғамға кері әсер етеді деп санайды.

The early twentieth century movement Modern architecture, pioneeredefn|Constructivism influenced Bauhaus and Le Corbusier, for example. used rectilinear Euclidean (also called Cartesian) geometry. In the De Stijl movement, the horizontal and the vertical were seen as constituting the universal. The architectural form consists of putting these two directional tendencies together, using roof planes, wall planes and balconies, which either slide past or intersect each other, as in the 1924 Rietveld Schröder House by Gerrit Rietveld. Modernist architects were free to make use of curves as well as planes. Charles Holden's 1933 Arnos station has a circular ticket hall in brick with a flat concrete roof. In 1938, the Bauhaus painter László Moholy Nagy adopted Raoul Heinrich Francé's seven biotechnical elements, namely the crystal, the sphere, the cone, the plane, the (cuboidal) strip, the (cylindrical) rod, and the spiral, as the supposed basic building blocks of architecture inspired by nature. Le Corbusier proposed an anthropometric scale of proportions in architecture, the Modulor, based on the supposed height of a man. Le Corbusier's 1955 Chapelle Notre Dame du Haut uses free form curves not describable in mathematical formulae. The shapes are said to be evocative of natural forms such as the prow of a ship or praying hands. The design is only at the largest scale: there is no hierarchy of detail at smaller scales, and thus no fractal dimension; the same applies to other famous twentieth century buildings such as the Sydney Opera House, Denver International Airport, and the Guggenheim Museum, Bilbao. Denver International Airport's terminal building, completed in 1995, has a fabric roof supported as a minimal surface (i. e., its mean curvature is zero) by steel cables. It evokes Colorado's snow capped mountains and the teepee tents of Native Americans. The architect Richard Buckminster Fuller is famous for designing strong thin shell structures known as geodesic domes. The Montréal Biosphère dome is high; its diameter is
Sydney Opera House has a dramatic roof consisting of soaring white vaults, reminiscent of ship's sails; to make them possible to construct using standardized components, the vaults are all composed of triangular sections of spherical shells with the same radius. These have the required uniform curvature in every direction. The late twentieth century movement Deconstructivism creates deliberate disorder with what Nikos Salingaros in A Theory of Architecture calls random forms of high complexity by using non parallel walls, superimposed grids and complex 2 D surfaces, as in Frank Gehry's Disney Concert Hall and Guggenheim Museum, Bilbao. Until the twentieth century, architecture students were obliged to have a grounding in mathematics. Salingaros argues that first "overly simplistic, politically driven" Modernism and then "anti scientific" Deconstructivism have effectively separated architecture from mathematics. He believes that this "reversal of mathematical values" is harmful, as the "pervasive aesthetic" of non mathematical architecture trains people "to reject mathematical information in the built environment"; he argues that this has negative effects on society.

Ежелгі Мысыр

Ежелгі Египет пирамидалары – математикалық пропорциялармен салынған қабірлер, бірақ олардың қандай екені және Пифагор теоремасы қолданылған-қолданбағаны күмәндануда. Гизаның Ұлы пирамидасының биіктігі мен негізінің жартысы арақатынасы алтын қатынастан 1%-дан аспайды. Бірақ көптеген ғылым тарихшыларының пікірінше, алтын пропорция Пифагор заманына дейін белгілі болған жоқ. Кейбір пирамидалардың пропорциялары Ринд математикалық папирусынан (шамамен б.з.д. 1650–1550 жж.) белгілі 3:4:5 үшбұрышына (бет бұрышы 53°8') негізделген болуы мүмкін; бұл туралы алғаш рет тарихшы Мориц Кантор 1882 жылы болжаған. Ежелгі Египетте тік бұрыштарды өлшеу үшін түйіндер салынған жіптерді пайдалану арқылы дәл орналастырылғаны мәлім. Тарихшы Роджер Л. Кук «Пифагор теоремасын білмей, мұндай жағдайларға қызығушылық таныту қиын» дейді, бірақ сонымен қатар б.з.д. 300 жылға дейінгі египеттік мәтіндердің бірінде де үшбұрыштың қабырғаларын табу үшін теореманы қолдану туралы ештеңе айтылмағанын, сондай-ақ тік бұрыш салудың қарапайым жолдары бар екенін атап өтеді. Кук Кантордың болжамы әлі де нақты емес деп қорытындылайды; ол ежелгі египеттіктер Пифагор теоремасын білген болуы мүмкін деп есептейді, бірақ «олар оны тік бұрыштар салу үшін қолданғандарына дәлел жоқ». Дегенмен, ертедегі құрылысшылар математикалық пропорцияларды кездейсоқ түрде тапқан болуы мүмкін. Математик Жорж Ифра жіп пен қазықтарды пайдаланып, эллипс сияқты геометриялық пішіндерді салуға болатын қарапайым «тәсілдер» бар екенін айтады. Фракталдар математикасы қолданыстағы ғимараттардың барлыққа ортақ тартымдылығы мен визуалды қанағаттандыру себебін көрерменге әртүрлі қашықтықтардан масштаб сезімін берумен байланысты екенін көрсетеді. Мысалы, Хинду ғибадатханаларының биік гопурам қақпаларында, VII ғасылда салынған Хампидегі Вирупакша ғибадатханасында және Кандрия Махадев ғибадатханасында (Хаджурахо) бөліктер мен тұтас бірдей сипатқа ие, олардың фракталдық өлшемдері 1.7–1.8 аралығында. Ең биік, орталық мұнараның айналасындағы кіші мұнаралар тобы (шихара, әліпби. 'тау'), Шива Иесінің мекені – қасиетті Кайлас тауын бейнелейді, индус космологиясындағы ғаламдардың шексіз қайталануын көрсетеді. Діни зерттеулер ғалымы Уильям Джексон кішігірім мұнаралар арасында топтастырылған мұнаралардың үлгісін байқады, олар өздері кішігірім мұнаралар арасында топтастырылған: Идеалдық форма көркемдікпен жасалып, өмір сүру мен сананың шексіз деңгейлерін көрсетеді, көтеріліп, көтеріліп, көтеріліп, бір уақытта киелі тереңдікте орналасқан. Минакши Амман ғибадатханасы – көптеген ғибадатханалары бар үлкен кешен, Мадурайдың көшелері шастраларға сәйкес оның айналасында концентрлі түрде орналастырылған. Төрт қақпа – Хампидегідей қайталанатын құрылымды фракталмен биік мұнаралар (гопурамдар). Әр ғибадатхананың айналасындағы қоршаулар төртбұрышты және биік тас қабырғалармен қоршалған.

The pyramids of ancient Egypt are tombs constructed with mathematical proportions, but which these were, and whether the Pythagorean theorem was used, are debated. The ratio of the slant height to half the base length of the Great Pyramid of Giza is less than 1% from the golden ratio. but according to many historians of science, the golden ratio was not known until the time of the Pythagoreans. The proportions of some pyramids may have also been based on the 3:4:5 triangle (face angle 53°8'), known from the Rhind Mathematical Papyrus (c. 1650–1550 BC); this was first conjectured by historian Moritz Cantor in 1882. It is known that right angles were laid out accurately in ancient Egypt using knotted cords for measurement, Historian Roger L. Cooke observes that "It is hard to imagine anyone being interested in such conditions without knowing the Pythagorean theorem," but also notes that no Egyptian text before 300 BC actually mentions the use of the theorem to find the length of a triangle's sides, and that there are simpler ways to construct a right angle. Cooke concludes that Cantor's conjecture remains uncertain; he guesses that the ancient Egyptians probably knew the Pythagorean theorem, but "there is no evidence that they used it to construct right angles." However, early builders may have come upon mathematical proportions by accident. The mathematician Georges Ifrah notes that simple "tricks" with string and stakes can be used to lay out geometric shapes, such as ellipses and right angles. The mathematics of fractals has been used to show that the reason why existing buildings have universal appeal and are visually satisfying is because they provide the viewer with a sense of scale at different viewing distances. For example, in the tall gopuram gatehouses of Hindu temples such as the Virupaksha Temple at Hampi built in the seventh century, and others such as the Kandariya Mahadev Temple at Khajuraho, the parts and the whole have the same character, with fractal dimension in the range 1.7 to 1.8. The cluster of smaller towers (shikhara, lit. 'mountain') about the tallest, central, tower which represents the holy Mount Kailash, abode of Lord Shiva, depicts the endless repetition of universes in Hindu cosmology. The religious studies scholar William J. Jackson observed of the pattern of towers grouped among smaller towers, themselves grouped among still smaller towers, that:

The ideal form gracefully artificed suggests the infinite rising levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within. The Meenakshi Amman Temple is a large complex with multiple shrines, with the streets of Madurai laid out concentrically around it according to the shastras. The four gateways are tall towers (gopurams) with fractal like repetitive structure as at Hampi. The enclosures around each shrine are rectangular and surrounded by high stone walls.

Ежелгі Грекия

Пифагор (б.з.д. 569 – б.з.д. 475 жж.) және оның ізбасарлары, пифагоршылар, «барлық нәрсе сандар» деп есептеді. Олар белгілі бір кіші бүтін сандық жиілік қатынастарындағы ноталардың тудырған үйлесімдерін байқады және ғимараттар да осындай қатынастармен жобалануы керек деп сақты. Грек тіліндегі «симметрия» сөзі бастапқыда сәулеттік пішіндердің үйлесімділігін, құрылыстың ең кішкентай бөлшектерінен бастап, оның толық дизайнына дейінгі нақты қатынастарды білдірді. Парфенонның ені, ұзындығы және карнизге дейінгі биіктігі белгілі. Бұл ен мен ұзындықтың 4:9 қатынасын, ал биіктік пен еннің де сол қатынасын береді. Бұларды біріктіргенде, биіктік:ені:ұзындығы 16:36:81, ал пифагоршылар қуанғандай 42:62:92 шығады. Бұл модульді 0,858 м деп белгілейді. 4:9 тіктөртбұрышты 3:4 қатынастағы қабырғалары бар үш тіктөртбұрыштан құрастыруға болады. Әрбір жарты тіктөртбұрыш 3:4:5 тікбұрышты үшбұрыш құрайды, бұрыштар мен қабырғаларды тиісті түйілген арқанмен тексеруге мүмкіндік береді. Ішкі кеңістік (наос) де 4:9 пропорциясына ие (ені 48,3 м ұзындығымен); сыртқы бағаналардың диаметрі мен олардың орталықтары арасындағы қашықтық арақатынасы да 4:9-ды құрайды. «Энтазис» – бағаналардың биіктігіне қарай диаметрінің азаюын білдіреді. «Стилобат» – бағаналар тұрған платформа. Басқа классикалық грек ғибадатханаларындағыдай, платформада жаңбыр суын төгу және ғимаратты жер сілкінісінен қорғау үшін жеңіл параболалық иіс бар. Сондықтан бағаналар сыртқа қарай еңкейгендей көрінеді, бірақ шындығында олар ішке қарай сәл еңкейген, егер олар созылса, ғимараттың ортасынан шамамен бір жарым километр биіктікте кездесетін еді. Олардың барлығы бірдей биіктікте болғандықтан, сыртқы стилобат жиегінің қисықтығы жоғарыдағы архитрав пен шатырға беріледі: «барлығы нәзік қисықтарға құрылған ережеге бағынады». «Алтын қатынас» б.з.д. 300 жылы Евклид геометриялық құрылыс әдісін сипаттағанда белгілі болды. Парфенон және басқа да ежелгі грек ғимараттарының, сондай-ақ мүсіндердің, картиналардың және вазалардың дизайнында «алтын қатынас» қолданылған деген пікірлер бар. Алайда, Никос Салингарос сияқты кейбір жаңа авторлар осы мәлімдемелерге күмән келтіреді. Компьютер ғалымы Джордж Марковский «алтын тіктөртбұрышқа» басымдық танылғанын анықтауға тырысқан тәжірибелері сәтсіз аяқталды.

Pythagoras (c. 569 – c. 475 B. C.) and his followers, the Pythagoreans, held that "all things are numbers". They observed the harmonies produced by notes with specific small integer ratios of frequency, and argued that buildings too should be designed with such ratios. The Greek word symmetria originally denoted the harmony of architectural shapes in precise ratios from a building's smallest details right up to its entire design. The Parthenon is long, wide and high to the cornice. This gives a ratio of width to length of 4:9, and the same for height to width. Putting these together gives height:width:length of 16:36:81, or to the delight of the Pythagoreans 42:62:92. This sets the module as 0.858 m. A 4:9 rectangle can be constructed as three contiguous rectangles with sides in the ratio 3:4. Each half rectangle is then a convenient 3:4:5 right triangle, enabling the angles and sides to be checked with a suitably knotted rope. The inner area (naos) similarly has 4:9 proportions ( wide by 48.3 m long); the ratio between the diameter of the outer columns, , and the spacing of their centres, , is also 4:9. Entasis refers to the subtle diminution in diameter of the columns as they rise. The stylobate is the platform on which the columns stand. As in other classical Greek temples, the platform has a slight parabolic upward curvature to shed rainwater and reinforce the building against earthquakes. The columns might therefore be supposed to lean outwards, but they actually lean slightly inwards so that if they carried on, they would meet about a kilometre and a half above the centre of the building; since they are all the same height, the curvature of the outer stylobate edge is transmitted to the architrave and roof above: "all follow the rule of being built to delicate curves". The golden ratio was known in 300 B. C., when Euclid described the method of geometric construction. It has been argued that the golden ratio was used in the design of the Parthenon and other ancient Greek buildings, as well as sculptures, paintings, and vases. More recent authors such as Nikos Salingaros, however, doubt all these claims. Experiments by the computer scientist George Markowsky failed to find any preference for the golden rectangle.

Ислам сәулеті

Ислам өнерінің тарихшысы Антонио Фернандес Пуэртас Альгамбраның, Кордобаның Ұлы мешіті сияқты, шамамен 1500 жылы испан-мұсылмандық аяқ немесе кодо қолданып салынғанын айтады. Сарайдың Арыстандар ауласында пропорциялар иррационал сандар тізбегін ұстанады. 1 және қабырғалары бар тіктөртбұрыштың (Пифагор теоремасы бойынша) диагоналі , ол аула қабырғалары құратын тікбұрышты сипаттайды; тізбек жалғасады (1:2 қатынасын береді), және т.б. Декоративтік өрнектер де ұқсас пропорцияда жасалған, шеңбер ішіндегі квадраттар мен сегіз қырлы жұлдыздар, алты қырлы жұлдыздар жасалады. Алхамбрада алтын пропорция қолданылғаны туралы бұрынғы пікірлерді қолдайтын ешқандай дәлел жоқ. Арыстандар ауласы Екі қарындас залы мен Абенсерраждер залымен шектеледі; осы екі залдың орталықтарынан және Арыстандар ауласының төрт ішкі бұрышынан тұрақты алтыбұрыш салуға болады. Түркияның Эдирне қаласындағы Селимие мешіті Мимар Синанмен ғимараттың кез келген жерінен михрабты көруге мүмкіндік беретін кеңістік үшін салынған. Сондықтан өте үлкен орталық кеңістік сегіз үлкен бағанадан тұратын сегізбұрышты нысанға айналдырылған және диаметрі және биіктігі бар дөңгелек күмбезбен жабылған. Сегізбұрыш төрт жартылай күмбезді төртбұрышпен және сыртынан төрт өте биік минаретпен, биік. Осылайша, ғимараттың жоспары – шеңбер, сегізбұрыштың ішінде, төртбұрыштың ішінде.

Моғол сәулет өнері

Моғол архитектурасы, Фатепур Сикри тастап кетілген императорлық қаласы мен Тадж Махал кешенінде көрініс тапқандай, ерекше математикалық тәртіпке және симметрия мен үйлесімге негізделген күшті эстетикаға ие. Тадж Махал – моғол сәулетінің көрнекті үлгісі, ол жұмақты бейнелейді және моғол императоры Шах Джаханның құдіретін өзінің аумақтылығы, симметриясы және қымбатты безендіруі арқылы көрсетеді. Пиетра-дурамен әшекейленген ақ мәрмәр кесене, үлкен қақпа (Дарваза и рауза), басқа ғимараттар, бақтар мен жолдар біріктірілген иерархиялық құрылымды құрайды. Ғимараттардың ішінде батысында қызыл құмтастан салынған мешіт және кешеннің екі жақты симметриясын сақтау үшін шығысында орналасқан, оған ұқсас Жаваб немесе "жауап" ғимараты бар. Формалды шарбаг ("төрт бөлікті бақ") төрт бөлікке бөлінген, ол жұмақтың төрт өзенін символдайды және мавзолейдің көріністері мен бейнелерін ұсынады. Бұл бөліктер өз кезегінде 16 партерге бөлінеді. Тадж Махал кешені тор түрінде жоспарланған және кішірек торларға бөлінген. Архитектура тарихшылары Кох және Барро кешеннің ені 374 мүйіз немесе газ деп айтатын дәстүрлі мәліметтермен келіседі, ал негізгі аумақ үш 374 газдық шаршыдан тұрады. Бұлар базар мен керуенсарай сияқты аймақтарда 17 газдық модульдерге бөлінген, ал бақ пен террасалар 23 газдық модульдерден тұрады және 368 газ (16 х 23) енінде. Мавзолей, мешіт және қонақ үй 7 газдық тор бойынша орналасқан. Кох және Барро егер кешенде жиі қолданылатын сегізбұрыш 7 бірлік қабырғасымен берілсе, онда оның ені 17 бірлікке тең болатынын атап өтеді, бұл кешендегі пропорциялардың таңдалуын түсіндіруге көмектеседі.

Христиандық сәулет

Византиядағы (қазіргі Стамбул) Хагия Софияның христиан патриархалды базиликасы алғаш рет 537 жылы салынған (екі рет қайта салынған), мың жыл бойы бұрын-соңды салынған ең үлкен кафедралық собор болды. Ол көптеген кейінгі ғимараттарға, соның ішінде Сұлтан Ахметке және қаланың басқа мешіттеріне әсер етті. Византиялық архитектураға дөңгелек күмбезбен және екі жарты күмбезден тұратын, барлығы бірдей диаметрлі, сондай-ақ апсиданы құрайтын тағы бес кіші жарты күмбез бен кең төртбұрышты ішкі кеңістіктің төрт дөңгелек бұрыштары кіреді. Орта ғасырлық сәулетшілер мұны төмендегі материалдық әлемді (шаршы негіз) және жоғарыдағы рухани аспанды (көтеріліп тұрған сфералық күмбез) бейнелейтіндей түсіндірді. Император Юстиниан сәулетшілер ретінде екі геометрді, Милеттік Исидор мен Тральский Антемийді тартты; Исидор Архимедтің қатты геометрия бойынша еңбектерін жинақтап, оның ықпалында болды. Христиан дінінде суға шомылдырудың маңыздылығы баптистерия архитектурасының ауқымында көрініс тапты. Римдегі ең көне, 440 жылы салынған Латеран баптистериясы сегізбұрышты баптистериялардың үрдісін қалыптастырды; мұндай ғимараттардың ішіндегі шомылдыру алабы көбінесе сегізбұрышты болды, бірақ Италияның ең үлкен баптистериясы, Пизада, 1152 және 1363 жылдар аралығында салынған, дөңгелек пішіндес, ал шомылдыру алабы сегізбұрышты. Оның биіктігі диаметрімен (8:5 қатынасы) шамалас. Әйгілі Амвросий сусындар мен баптистериялардың сегізбұрышты болуын «сегізінші күні» деп түсіндірген. Кадзуми Кудоның Каназава Умимирай кітапханасы қарапайым бетон қабырғаларға орнатылған кішкентай дөңгелек шыны блоктарынан жасалған әсем тор құрады. Архитектура тарихшысы Зигфрид Гидион жұлдыз тәрізді бекіністің Ренессанс дәуірінің идеалды қаласын қалыптастыруға зор ықпал еткенін айтты: «Ренессанс бір жарым ғасыр бойы – Filarete-ден Scamozzi-ге дейін – барлық утопиялық жобаларға әсер еткен бір қала түріне тәнті болды: ол – жұлдыз тәрізді қала».

Қытай

Қытай сәулетінде Фуцзянь провинциясының тулулары – дөңгелек пішінді, қоғамдық қорғаныс құрылыстары. Олардың қабырғалары көбінесе тегіс, бір ғана темір қапталған ағаш есігі бар, ал кейбіреулері он алтыншы ғасырға дейін сақталған. Қабырғалардың үстіңгі жағында сыртқа да, ішке де біртегіс еңіспен төселген шатырлар орналасқан, олар шеңбер құрайды. Дөңгелектің ортасында көбінесе құдық болатын ашық, тас төселген аула орналасқан, ал оны бес қабатқа дейін жететін ағаш галереялармен қоршаған.

Қоршаған орта мақсаттары

Архитекторлар қоршаған ортаны қорғау мақсаттарына жету үшін ғимараттың пішінін де таңдай алады. Мысалы, Фостер және Партнерлердің Лондондағы 30 St Mary Axe ғимараты, пішіні қиярға ұқсас болғандықтан "Геркин" деп аталады, бұл параметрлік модельдеуді пайдалана отырып жасалған айналма дененің нәтижесі. Оның геометриясы әдемілік үшін ғана емес, сонымен қатар ғимараттың негізіндегі айналма ауа ағындарын азайту мақсатында таңдалды. Ғимараттың беті қисық болғанымен, оның қабығын құрайтын барлық шыны панельдер, жоғарғы жағындағы линзадан басқа, тегіс. Көптеген панельдер төртбұрышты, себебі оларды тіктөртбұрышты шыныдан үшбұрышты панельдерге қарағанда аз қалдықпен кесуге болады. Парсының дәстүрлі яхчалдары (мұз сақтағыштары) булану салқындатқыш ретінде жұмыс істеген. Жер үстіндегі құрылыс күмбез пішіндес болды, бірақ мұзды және кейде азық-түлікті сақтау үшін жер астында кеңістік болды. Жер асты кеңістігі мен қалың жылуға төзімді конструкция жыл бойы сақтау орнын жылудан қорғайтын. Ішкі кеңістік көбінесе жел ұстағыштармен қосымша салқындатылатын.