Введение

Метод использования изменений масштаба для понимания физических теорий, таких как квантовые теории поля.

В теоретической физике термин «группа ренормализации» (RG) относится к формальному аппарату, позволяющему систематически исследовать изменения физической системы при рассмотрении в различных масштабах. В физике частиц это отражает изменения в фундаментальных законах сил (закодированных в квантовой теории поля) при изменении энергетического масштаба, при котором происходят физические процессы, при этом масштабы энергии/импульса и расстояния разрешения эффективно сопряжены в соответствии с принципом неопределенности. Изменение масштаба называется преобразованием масштаба. Группа ренормализации тесно связана с инвариантностью масштаба и конформной инвариантностью – симметриями, при которых система выглядит одинаково во всех масштабах (так называемая самоподобие). При изменении масштаба это все равно, что менять увеличивающую силу воображаемого микроскопа, рассматривающего систему. В так называемых ренормируемых теориях система в одном масштабе обычно состоит из самоподобных копий самой себя при рассмотрении в меньшем масштабе, с различными параметрами, описывающими компоненты системы. Компоненты, или фундаментальные переменные, могут относиться к атомам, элементарным частицам, атомным спинам и т.д. Параметры теории обычно описывают взаимодействие компонентов. Это могут быть переменные связи, измеряющие силу различных взаимодействий, или сами параметры массы. Сами компоненты могут казаться составленными из большего количества тех же компонентов при переходе к меньшим расстояниям. Например, в квантовой электродинамике (КЭД) электрон, по-видимому, состоит из электронно-позитронных пар и фотонов при рассмотрении его с более высоким разрешением на очень коротких расстояниях. Электрон на таких коротких расстояниях имеет немного отличающийся электрический заряд, чем «одетый» электрон, наблюдаемый на больших расстояниях, и это изменение, или «бег», значения электрического заряда определяется уравнением группы ренормализации.

История

Идея масштабных преобразований и масштабной инвариантности стара в физике: аргументы масштабирования были распространены в школе Пифагора, у Евклида и вплоть до Галилея. Они вновь стали популярными в конце XIX века, и, возможно, первым примером стала идея Осборна Рейнольдса об усиленной вязкости как способе объяснения турбулентности. Группа перенормировки первоначально была разработана в физике частиц, но в настоящее время её применение распространяется на физику твердого тела, механику жидкостей, физическую космологию и даже нанотехнологии. Ранняя статья Эрнста Штюкельберга и Андре Петермана 1953 года предвосхитила эту идею в квантовой теории поля. Штюкельберг и Петерманн заложили концептуальные основы этой области. Они отметили, что перенормировка представляет собой группу преобразований, переносящих величины из «голых» членов в контртермы. Они ввели функцию h(e) в квантовой электродинамике (QED), которая теперь называется бета-функцией (см. ниже).

Более глубокое понимание

Группа ренормализации возникает в результате ренормализации квантовых полевых переменных, которая обычно направлена на решение проблемы бесконечностей в квантовой теории поля. Эта проблема систематического обращения с бесконечностями квантовой теории поля для получения конечных физических величин была решена для КЭД Ричардом Фейнманом, Джулианом Швингером и Синъитиро Томонагой, которые получили Нобелевскую премию 1965 года за эти достижения. Они разработали теорию ренормализации массы и заряда, в которой бесконечность в масштабе импульса отсекается сверхбольшим регулятором Λ. Зависимость физических величин, таких как электрический заряд или масса электрона, от масштаба Λ скрыта, фактически заменена на более длинные масштабы расстояний, на которых измеряются физические величины, и, как следствие, все наблюдаемые величины оказываются конечными, даже при бесконечном Λ. Гелл-Манн и Лоу осознали в этих результатах, что, в пределе бесконечно малых изменений, небольшое изменение g определяется вышеуказанным уравнением группы ренормализации, заданным функцией ψ(g), а самоподобие выражается тем фактом, что ψ(g) зависит явно только от параметров теории, а не от масштаба μ. Следовательно, вышеуказанное уравнение группы ренормализации можно решить относительно (G и, следовательно, g(μ)). Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса ренормализации, выходящее за рамки группы масштабирования обычных ренормализуемых теорий, рассматривает методы, в которых одновременно возникают существенно различающиеся масштабы длин. Это направление зародилось в физике конденсированного состояния: в статье Лео П. Каданоффа 1966 года была предложена группа ренормализации "блочных спинов". "Идея блокирования" – это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как агрегаты компонентов на меньших расстояниях. Этот подход охватил концептуальную основу и получил полное вычислительное обоснование в обширных и важных работах Кеннета Уилсона. Мощность идей Уилсона была продемонстрирована конструктивным итеративным ренормализационным решением давней проблемы Кондо в 1975 году, а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений в 1971 году. За эти решающие достижения он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году.

Переформулировка

Между тем, уравнение ренормализационной группы в физике частиц было переформулировано в более практических терминах Калланом и Симанзиком в 1970 году. Вышеуказанная бета-функция, описывающая изменение параметра связи с масштабом, также оказалась эквивалентна "канонической аномалии следа", которая представляет собой квантовомеханическое нарушение симметрии масштаба (дилатации) в теории поля. Применение уравнения ренормализационной группы к физике частиц резко возросло в 1970-х годах с установлением Стандартной модели. В 1973 году было обнаружено, что теория взаимодействующих цветных кварков, называемая квантовой хромодинамикой, имеет отрицательную бета-функцию. Это означает, что начальное высокое значение константы связи приведет к определенному значению μ, при котором константа связи неограниченно возрастает (расходится). Это особое значение является масштабом сильных взаимодействий, μ = Λ, и достигается примерно при 200 МэВ. Напротив, константа связи становится слабой при очень высоких энергиях (асимптотическая свобода), и кварки становятся наблюдаемыми как точечные частицы в глубоком неупругом рассеянии, как и предсказывалось масштабированием Фейнмана — Бьёркена. Таким образом, квантовая хромодинамика была установлена как квантовая теория поля, описывающая сильные взаимодействия частиц. Уравнение ренормализационной группы в импульсном пространстве также стало высокоразвитым инструментом в физике твердого тела, но его развитие было затруднено широким использованием теории возмущений, что не позволило теории добиться успеха в сильнокоррелированных системах.

Конформная симметрия

Конформная симметрия связана с обращением в ноль бета-функции. Это может происходить естественным образом, если константа связи, в процессе перенормировки, стремится к фиксированной точке, в которой β(g) = 0. В КХД фиксированная точка возникает на малых расстояниях, где g → 0, и называется (тривиальной) ультрафиолетовой фиксированной точкой. Для тяжелых кварков, таких как верхний кварк, связь с массой, порождающей бозон Хиггса, стремится к фиксированной ненулевой (нетривиальной) инфракрасной фиксированной точке, впервые предсказанной Пендлтоном и Россом (1981) и К. Т. Хиллом. Связь Юкавы верхнего кварка лежит немного ниже инфракрасной фиксированной точки Стандартной модели, что указывает на возможность существования дополнительной новой физики, такой как последовательные тяжелые бозоны Хиггса. В теории струн конформная инвариантность мировой поверхности струны является фундаментальной симметрией: β = 0 – необходимое условие. Здесь β является функцией геометрии пространства-времени, в котором движется струна. Это определяет пространственно-временную размерность теории струн и накладывает ограничения уравнений общей теории относительности Эйнштейна на геометрию. Перенормировочная группа имеет фундаментальное значение для теории струн и теорий великого объединения. Она также является современной ключевой идеей, лежащей в основе критических явлений в физике конденсированного состояния. Действительно, перенормировочная группа стала одним из важнейших инструментов современной физики и часто используется в сочетании с методом Монте-Карло.

Блок спин

В этом разделе педагогически представляется картина RG, которую легче всего понять: блок-спиновый RG, разработанный Лео П. Кадановым в 1966 году. Для D = 4 тривиальность пока не доказана строго, но результаты решеточных вычислений предоставляют веские доказательства в ее пользу. Этот факт важен, поскольку квантовая тривиальность может быть использована для ограничения или даже предсказания параметров, таких как масса бозона Хиггса в сценариях асимптотической безопасности. В исследовании решеточных теорий Хиггса появляется множество фиксированных точек, но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом. Поскольку преобразования RG в таких системах являются необратимыми (то есть количество переменных уменьшается – примером может служить сжатие данных с потерями в другом контексте), для заданного преобразования RG обратное преобразование не всегда существует. Следовательно, в таких системах с потерями группа перенормировки фактически является полугруппой, поскольку необратимость означает отсутствие единственного обратного элемента для каждого преобразования.

Соответствующие и несуществующие операторы и классы универсальности

Рассмотрим некоторую наблюдаемую A физической системы, претерпевающей RG-преобразование. Изменение величины наблюдаемой при изменении масштаба длины системы от малого к большому определяет её вклад в закон масштабирования: если её величина, то наблюдаемая всегда возрастает, в противном случае – всегда убывает, а в иных случаях – маргинальна. Для описания макроскопического поведения системы необходима релевантная наблюдаемая; нерелевантные наблюдаемые не требуются. Маргинальные наблюдаемые могут требовать, а могут и не требовать учёта. Примечательным фактом является то, что большинство наблюдаемых нерелевантны, то есть макроскопическая физика в большинстве систем определяется лишь несколькими наблюдаемыми. Например, для описания системы, состоящей из моля атомов углерода-12, в микроскопической физике требуется порядка 10 (число Авогадро) переменных, в то время как для описания той же системы как макроскопической (12 граммов углерода-12) достаточно лишь нескольких. До подхода Вильсона к RG существовал удивительный эмпирический факт, требующий объяснения: совпадение критических показателей (то есть показателей степенной зависимости нескольких величин от приведённой температуры вблизи фазового перехода второго рода) в совершенно различных явлениях, таких как магнитные системы, сверхтекучий переход (лямбда-переход), физика сплавов и т.д. Таким образом, в общем случае, термодинамические характеристики системы вблизи фазового перехода зависят лишь от небольшого числа переменных, таких как размерность и симметрия, но нечувствительны к деталям микроскопических свойств системы. Это совпадение критических показателей для, казалось бы, существенно различающихся физических систем, называемое универсальностью, легко объясняется с помощью группы перенормировки, показывая, что различия в явлениях между отдельными мелкомасштабными компонентами определяются нерелевантными наблюдаемыми, в то время как релевантные наблюдаемые являются общими. Следовательно, многие макроскопические явления можно объединить в небольшое число классов универсальности, определяемых общими наборами релевантных наблюдаемых.

Пространство импульса

Группы ренормализации на практике представлены двумя основными "вариантами". Описанная выше картина Каданова относится главным образом к так называемой RG в реальном пространстве. RG в импульсном пространстве, с другой стороны, имеет более долгую историю, несмотря на свою относительную сложность. Его можно использовать для систем, в которых степени свободы можно представить в терминах мод Фурье данного поля. Преобразование RG происходит путем исключения определенного набора мод с высоким импульсом (большим волновым числом). Поскольку большие волновые числа связаны с малыми масштабами длин, RG в импульсном пространстве приводит к по существу аналогичному эффекту усреднения, как и RG в реальном пространстве. RG в импульсном пространстве обычно выполняется в рамках теории возмущений. Обоснованность такого разложения зависит от того, насколько физика системы близка к физике системы свободных полей. В этом случае наблюдаемые величины можно рассчитать, суммируя ведущие члены в разложении. Этот подход оказался успешным для многих теорий, включая большую часть физики элементарных частиц, но не работает для систем, физика которых сильно отличается от физики свободных систем, то есть для систем с сильными корреляциями. В качестве примера физического смысла RG в физике элементарных частиц рассмотрим обзор ренормализации заряда в квантовой электродинамике (QED). Предположим, что у нас есть точечный положительный заряд определенной истинной (или голой) величины. Электромагнитное поле вокруг него обладает определенной энергией и, следовательно, может порождать виртуальные электрон-позитронные пары (например). Хотя виртуальные частицы очень быстро аннигилируют, в течение своего короткого времени существования электрон будет притягиваться зарядом, а позитрон – отталкиваться. Поскольку это происходит равномерно во всех точках вблизи точечного заряда, где его электрическое поле достаточно сильно, эти пары эффективно создают экран вокруг заряда при наблюдении издалека. Измеренная величина заряда будет зависеть от того, насколько близко наш измерительный зонд сможет подойти к точечному заряду, обходя все большую часть экрана из виртуальных частиц по мере приближения. Следовательно, существует зависимость определенной константы связи (в данном случае, электрического заряда) от масштаба расстояния. Масштабы импульса и длины связаны обратно пропорционально в соответствии с соотношением де Бройля: чем выше энергетический или импульсный масштаб, тем меньше масштаб длины, который мы можем исследовать и разрешить. Поэтому специалисты, работающие с RG в импульсном пространстве, иногда утверждают, что исключают высокие импульсы или высокую энергию из своих теорий.

Педагогические и исторические обзоры

Наиболее успешный вариационный метод RG. Математическое введение и исторический обзор с упором на теорию групп и применение в физике высоких энергий. Доступное введение в ренормализацию и группу ренормализации. Доступное введение в группу ренормализации применительно к физике конденсированного состояния.