Приближение функций рядом Тейлора и Маклорена

Введение

Математическое приближение функции

В математике ряд Тейлора или разложение Тейлора функции — это бесконечная сумма слагаемых, выраженных через производные функции в одной точке. Для большинства часто встречающихся функций, функция и сумма её ряда Тейлора равны в окрестности этой точки. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора, который представил их в 1715 году. Ряд Тейлора также называют рядом Маклорена, когда 0 является точкой, в которой вычисляются производные, в честь Колина Маклорена, который широко использовал этот частный случай ряда Тейлора в XVIII веке. Частичная сумма, состоящая из первых n + 1 слагаемых ряда Тейлора, является многочленом степени n, который называется n-м многочленом Тейлора функции. Многочлены Тейлора являются приближениями функции, которые, как правило, становятся более точными с увеличением n. Теорема Тейлора предоставляет количественные оценки погрешности, возникающей при использовании таких приближений. Если ряд Тейлора функции сходится, то его сумма является пределом бесконечной последовательности многочленов Тейлора. Функция может отличаться от суммы своего ряда Тейлора, даже если этот ряд сходится. Функция называется аналитической в точке x, если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом диске на комплексной плоскости), содержащем x. Это подразумевает, что функция аналитична в каждой точке этого интервала (или диска).

История

Древнегреческий философ Зенон Элейский рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для получения конечного результата, но отвергал её как невозможную; результатом стал парадокс Зенона. Позже Аристотель предложил философское решение парадокса, однако математическая сторона вопроса, по-видимому, оставалась нерешённой, пока ею не занялся Архимед, как это было и до Аристотеля у досократического атомиста Демокрита. Именно благодаря методу исчерпывания Архимеда стало возможным выполнять бесконечное число последовательных разбиений для достижения конечного результата. Несколько столетий спустя Лю Хуэй независимо разработал аналогичный метод. В XIV веке индийский математик Мадхава из Сангамаграмы представил первые примеры конкретных рядов Тейлора (но не общий метод). Хотя записи его работ не сохранились, труды его последователей из школы астрономии и математики Кералы указывают на то, что он нашёл ряды Тейлора для тригонометрических функций синуса, косинуса и арктангенса (см. Ряды Мадхавы). В течение последующих двух столетий его последователи развивали дальнейшие разложения в ряды и рациональные приближения. В конце 1670 года Джеймс Грегори получил от Джона Коллинза письмо, в котором были представлены несколько рядов Маклорена ( и ), выведенных Исааком Ньютоном, и информацию о том, что Ньютон разработал общий метод разложения функций в ряды. Ньютон действительно использовал сложный метод, включавший длительное деление рядов и почленное интегрирование, но Грегори об этом не знал и решил самостоятельно открыть общий метод. В начале 1671 года Грегори открыл нечто похожее на общий ряд Маклорена и отправил Коллинзу письмо, содержащее ряды для (интеграла ), (интеграла от sec, обратной гудермановской функции) и (гудермановской функции). Однако, полагая, что он лишь переоткрыл метод Ньютона, Грегори так и не описал, как он получил эти ряды, и можно лишь предположить, что он понял общий метод, изучив черновики, которые он набросал на обороте другого письма 1671 года. В 1691–1692 годах Исаак Ньютон записал явное утверждение рядов Тейлора и Маклорена в неопубликованной версии своей работы «De Quadratura Curvarum». Однако эта работа так и не была завершена, и соответствующие разделы были исключены из части, опубликованной в 1704 году под названием «Tractatus de Quadratura Curvarum». Только в 1715 году Брук Тейлор опубликовал общий метод построения этих рядов для всех функций, для которых они существуют, и в его честь ряды получили своё название. Ряд Маклорена был назван в честь Колина Маклорена, профессора из Эдинбурга, который опубликовал частный случай результата Тейлора в середине XVIII века.

The ancient Greek philosopher Zeno of Elea considered the problem of summing an infinite series to achieve a finite result, but rejected it as an impossibility; the result was Zeno's paradox. Later, Aristotle proposed a philosophical resolution of the paradox, but the mathematical content was apparently unresolved until taken up by Archimedes, as it had been prior to Aristotle by the Presocratic Atomist Democritus. It was through Archimedes's method of exhaustion that an infinite number of progressive subdivisions could be performed to achieve a finite result. Liu Hui independently employed a similar method a few centuries later. In the 14th century, the earliest examples of specific Taylor series (but not the general method) were given by Indian mathematician Madhava of Sangamagrama. Though no record of his work survives, writings of his followers in the Kerala school of astronomy and mathematics suggest that he found the Taylor series for the trigonometric functions of sine, cosine, and arctangent (see Madhava series). During the following two centuries his followers developed further series expansions and rational approximations. In late 1670, James Gregory was shown in a letter from John Collins several Maclaurin series ( and ) derived by Isaac Newton, and told that Newton had developed a general method for expanding functions in series. Newton had in fact used a cumbersome method involving long division of series and term by term integration, but Gregory did not know it and set out to discover a general method for himself. In early 1671 Gregory discovered something like the general Maclaurin series and sent a letter to Collins including series for (the integral of ), (the integral of sec, the inverse Gudermannian function), and (the Gudermannian function). However, thinking that he had merely redeveloped a method by Newton, Gregory never described how he obtained these series, and it can only be inferred that he understood the general method by examining scratch work he had scribbled on the back of another letter from 1671. In 1691–1692, Isaac Newton wrote down an explicit statement of the Taylor and Maclaurin series in an unpublished version of his work De Quadratura Curvarum. However, this work was never completed and the relevant sections were omitted from the portions published in 1704 under the title Tractatus de Quadratura Curvarum. It was not until 1715 that a general method for constructing these series for all functions for which they exist was finally published by Brook Taylor, after whom the series are now named. The Maclaurin series was named after Colin Maclaurin, a professor in Edinburgh, who published the special case of the Taylor result in the mid 18th century.

Ошибка приближения и конвергенция

На рисунке показано точное приближение синуса x в окрестности точки. Розовая кривая — это многочлен седьмой степени. Погрешность этого приближения не превышает. Для полного цикла, центрированного в начале координат (−π < x < π), погрешность меньше 0,08215. В частности, для −1 < x < 1 погрешность меньше 0,000003. В отличие от этого, также изображен график функции натурального логарифма ln(1 + x) и некоторые её полиномы Тейлора в окрестности. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени дают худшие приближения для функции. Погрешность, возникающая при приближении функции полиномом Тейлора n-й степени, называется остаточным членом или остатком и обозначается Rn(x). Теорема Тейлора может быть использована для получения оценки размера остаточного члена. В общем случае, ряды Тейлора не обязаны сходиться вообще. И, более того, множество функций с сходящимся рядом Тейлора является ничтожным множеством в пространстве Фреше гладких функций. И даже если ряд Тейлора функции f сходится, его предел не обязательно равен значению функции f(x). Например, функция

Pictured is an accurate approximation of sin x around the point The pink curve is a polynomial of degree seven:

The error in this approximation is no more than For a full cycle centered at the origin (−π < x < π) the error is less than 0.08215. In particular, for −1 < x < 1, the error is less than 0.000003. In contrast, also shown is a picture of the natural logarithm function ln(1 + x) and some of its Taylor polynomials around These approximations converge to the function only in the region −1 < x ≤ 1; outside of this region the higher degree Taylor polynomials are worse approximations for the function. The error incurred in approximating a function by its nth degree Taylor polynomial is called the remainder or residual and is denoted by the function Rn(x). Taylor's theorem can be used to obtain a bound on the size of the remainder. In general, Taylor series need not be convergent at all. And in fact the set of functions with a convergent Taylor series is a meager set in the Fréchet space of smooth functions. And even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function f (x). For example, the function

is infinitely differentiable at , and has all derivatives zero there. Consequently, the Taylor series of f (x) about is identically zero. However, f (x) is not the zero function, so does not equal its Taylor series around the origin. Thus, f (x) is an example of a non analytic smooth function. In real analysis, this example shows that there are infinitely differentiable functions f (x) whose Taylor series are not equal to f (x) even if they converge. By contrast, the holomorphic functions studied in complex analysis always possess a convergent Taylor series, and even the Taylor series of meromorphic functions, which might have singularities, never converge to a value different from the function itself. The complex function e^(−1/z^(2)), however, does not approach 0 when z approaches 0 along the imaginary axis, so it is not continuous in the complex plane and its Taylor series is undefined at 0. More generally, every sequence of real or complex numbers can appear as coefficients in the Taylor series of an infinitely differentiable function defined on the real line, a consequence of Borel's lemma. As a result, the radius of convergence of a Taylor series can be zero. There are even infinitely differentiable functions defined on the real line whose Taylor series have a radius of convergence 0 everywhere. A function cannot be written as a Taylor series centred at a singularity; in these cases, one can often still achieve a series expansion if one allows also negative powers of the variable x; see Laurent series. For example, can be written as a Laurent series.

бесконечно дифференцируема в точке , и все её производные в этой точке равны нулю. Следовательно, ряд Тейлора функции f(x) в окрестности равен нулю тождественно. Однако f(x) не является нулевой функцией, поэтому не равна своему ряду Тейлора в окрестности начала координат. Таким образом, f(x) является примером гладкой неаналитической функции. В реальном анализе этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f(x), чьи ряды Тейлора не равны f(x), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций, которые могут иметь особые точки, никогда не сходится к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция e^(−1/z^(2)) не стремится к нулю при z, стремящемся к нулю по мнимой оси, поэтому она не является непрерывной на комплексной плоскости, и её ряд Тейлора не определен в 0. В более общем смысле, любая последовательность действительных или комплексных чисел может являться коэффициентами в ряду Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на действительной прямой, что является следствием леммы Бореля. В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на действительной прямой, чьи ряды Тейлора имеют радиус сходимости 0 во всех точках. Функцию нельзя представить в виде ряда Тейлора, центрированного в точке сингулярности; в этих случаях часто можно добиться разложения в ряд, если допускать также отрицательные степени переменной x; см. ряд Лорана. Например, можно представить в виде ряда Лорана.

Список рядов Маклаурина некоторых общих функций

Далее следуют несколько важных разложений в ряд Маклорена. Все эти разложения справедливы для комплексных аргументов x.

Сравнение с рядами Фурье

Тригонометрический ряд Фурье позволяет выразить периодическую функцию (или функцию, определенную на замкнутом интервале [a, b]) как бесконечную сумму тригонометрических функций (синусов и косинусов). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию как бесконечную сумму степеней. Тем не менее, эти два ряда отличаются друг от друга в нескольких важных аспектах: конечные усечения ряда Тейлора функции f(x) в окрестности точки a точно равны f(a). В отличие от этого, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому обычно не существует точки, в которой все конечные усечения ряда были бы точными. Вычисление ряда Тейлора требует знания функции на произвольно малой окрестности точки, в то время как вычисление ряда Фурье требует знания функции на всем интервале ее определения. В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора является "локальным", а ряд Фурье – "глобальным". Ряд Тейлора определяется для функции, имеющей бесконечно много производных в одной точке, тогда как ряд Фурье определяется для любой интегрируемой функции. В частности, функция может быть нигде недифференцируемой (например, f(x) может быть функцией Вейерштрасса). Сходимость обоих рядов имеет существенно разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, полученный ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитична, то ряд сходится точечно к функции и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, то если функция квадратично интегрируема, ряд сходится в среднем по квадрату, но для обеспечения точечной или равномерной сходимости необходимы дополнительные условия (например, если функция периодична и принадлежит классу C1, то сходимость равномерна). Наконец, на практике часто требуется аппроксимировать функцию конечным числом членов, например, полиномом Тейлора или частичной суммой тригонометрического ряда. В случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки, в которой он вычислен, в то время как в удаленной точке она может быть очень большой. В случае ряда Фурье ошибка распределена по области определения функции.

The trigonometric Fourier series enables one to express a periodic function (or a function defined on a closed interval [a,b]) as an infinite sum of trigonometric functions (sines and cosines). In this sense, the Fourier series is analogous to Taylor series, since the latter allows one to express a function as an infinite sum of powers. Nevertheless, the two series differ from each other in several relevant issues:
The finite truncations of the Taylor series of f (x) about the point are all exactly equal to f at a. In contrast, the Fourier series is computed by integrating over an entire interval, so there is generally no such point where all the finite truncations of the series are exact. The computation of Taylor series requires the knowledge of the function on an arbitrary small neighbourhood of a point, whereas the computation of the Fourier series requires knowing the function on its whole domain interval. In a certain sense one could say that the Taylor series is "local" and the Fourier series is "global". The Taylor series is defined for a function which has infinitely many derivatives at a single point, whereas the Fourier series is defined for any integrable function. In particular, the function could be nowhere differentiable. (For example, f (x) could be a Weierstrass function.) The convergence of both series has very different properties. Even if the Taylor series has positive convergence radius, the resulting series may not coincide with the function; but if the function is analytic then the series converges pointwise to the function, and uniformly on every compact subset of the convergence interval. Concerning the Fourier series, if the function is square integrable then the series converges in quadratic mean, but additional requirements are needed to ensure the pointwise or uniform convergence (for instance, if the function is periodic and of class C1 then the convergence is uniform). Finally, in practice one wants to approximate the function with a finite number of terms, say with a Taylor polynomial or a partial sum of the trigonometric series, respectively. In the case of the Taylor series the error is very small in a neighbourhood of the point where it is computed, while it may be very large at a distant point. In the case of the Fourier series the error is distributed along the domain of the function.