Кіріспе
Функцияның математикалық жуықтауы. Математикада функцияның Тейлор қатары немесе Тейлор кеңейтімі – функцияның бір нүктедегі туындылары арқылы өрнектелген мүшелердің шексіз қосындысы болып табылады. Көптеген кең таралған функциялар үшін, функция және оның Тейлор қатарының қосындысы осы нүктеге жақын тең болады. Тейлор қатары 1715 жылы оны енгізген Брук Тейлордың құрметіне аталған. Егер туындылар қарастырылатын нүкте 0 болса, Тейлор қатары Маклаурин қатары деп те аталады, және осы Тейлор қатарының ерекше жағдайын 18 ғасырда Колин Маклаурин кеңінен қолданды. Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінен құралған ішінара қосындысы – функцияның n-ші Тейлор полиномі деп аталатын n дәрежелі полином болып табылады. Тейлор полиномдары функцияны жуықтау үшін қолданылады, және n-нің мәні артқан сайын олардың дәлдігі арта түседі. Тейлор теоремасы мұндай жуықтауларды қолдану нәтижесінде туындаған қателіктерді сандық бағалауға мүмкіндік береді. Егер функцияның Тейлор қатары жинақты болса, оның қосындысы Тейлор полиномдарының шексіз тізбегінің лиміті болып табылады. Функцияның Тейлор қатары жинақты болса да, оның қосындысынан өзгеше болуы мүмкін. Егер функция x нүктесін қамтитын ашық аралықта (немесе комплекс жазықтықтағы ашық дискіде) Тейлор қатарының қосындысына тең болса, онда функция x нүктесінде аналитикалық болып табылады. Бұл функцияның аталған аралықтың (немесе дискінің) кез келген нүктесінде аналитикалық екенін білдіреді.
In mathematics, the Taylor series or Taylor expansion of a function is an infinite sum of terms that are expressed in terms of the function's derivatives at a single point. For most common functions, the function and the sum of its Taylor series are equal near this point. Taylor series are named after Brook Taylor, who introduced them in 1715. A Taylor series is also called a Maclaurin series when 0 is the point where the derivatives are considered, after Colin Maclaurin, who made extensive use of this special case of Taylor series in the 18th century. The partial sum formed by the first n + 1 terms of a Taylor series is a polynomial of degree n that is called the nth Taylor polynomial of the function. Taylor polynomials are approximations of a function, which become generally more accurate as n increases. Taylor's theorem gives quantitative estimates on the error introduced by the use of such approximations. If the Taylor series of a function is convergent, its sum is the limit of the infinite sequence of the Taylor polynomials. A function may differ from the sum of its Taylor series, even if its Taylor series is convergent. A function is analytic at a point x if it is equal to the sum of its Taylor series in some open interval (or open disk in the complex plane) containing x. This implies that the function is analytic at every point of the interval (or disk).
Тарих
Елеалық ежелгі грек философы Зенон шексіз нәтиже алу үшін шексіз қатарларды қосу мәселесін қарастырды, бірақ оны мүмкін емес деп санады; нәтижесі – Зенонның парадоксы. Кейіннен Аристотель парадокстың философиялық шешімін ұсынды, бірақ математикалық мазмұны, көрінетіндей, Архимед осы мәселені алғанға дейін шешілмеген еді, өйткені Аристотельден бұрын бұл мәселені атомист Демокрит қарастырған. Архимедтің шектеу әдісі арқылы шекті нәтижеге жету үшін шексіз көп прогрессивті бөліністер жасауға мүмкіндік болды. Лю Хуэй бірнеше ғасырдан кейін осыған ұқсас әдісті қолданды. 14 ғасырда Сангамаграмалық үнді математигі Мадхава Тейлор қатарының алғашқы мысалдарының (бірақ жалпы әдістің емес) берді. Оның еңбегі сақталмаса да, Керала астрономия және математика мектебінің оның ізбасарларының жазбалары, оның синус, косинус және арктангенттің тригонометриялық функциялары үшін Тейлор қатарын тапқанын көрсетеді (Мадхава қатарын қараңыз). Келесі екі ғасыр ішінде оның ізбасарлары одан әрі қатарларды кеңейту және рационалды жуықтаулар жасады. 1670 жылдың соңында Джеймс Грегориге Джон Коллинзден келген хатта Исаак Ньютонның бірнеше Маклаурин қатарлары (және ) көрсетілді және Ньютонның функцияларды қатарда кеңейтудің жалпы әдісін жасағаны айтылды. Ньютон, шындығында, қатарларды ұзақ бөлуді және мүшелеп интегралдауды қамтитын қиын әдіс қолданған, бірақ Грегори оны білмеді және өзі үшін жалпы әдіс табуға кірісті. 1671 жылдың басында Грегори жалпы Маклаурин қатарына ұқсас нәрсені ашты және Коллинске (оның интегралы), (сек интегралы, кері Гудерманн функциясы) және (Гудерманн функциясы) үшін қатарларды қоса отырып хат жіберді. Алайда, ол Ньютонның әдісін қайта жасаймын деп ойлағандықтан, Грегори осы қатарларды қалай алғанын ешқашан сипаттаған жоқ, және ол 1671 жылғы басқа хаттың артына сызылған эскиздерді қарап, жалпы әдісті түсінген деген тұжырым жасауға болады. 1691–1692 жылдары Исаак Ньютон өзінің «De Quadratura Curvarum» еңбегінің жарияланбаған нұсқасында Тейлор және Маклаурин қатарларының нақты тұжырымын жазды. Алайда, бұл еңбек аяқталған жоқ және 1704 жылы «Tractatus de Quadratura Curvarum» деген атпен жарық көрген бөлімдерде тиісті бөлімдер алынып тасталды. 1715 жылға дейін олар барлық функциялар үшін осы қатарларды құрудың жалпы әдісін, ақыры, Брук Тейлор жариялады, оның атымен қатарлар аталады. Маклаурин қатары Эдинбургтегі профессор Колин Маклауриннің құрметіне аталды, ол Тейлор нәтижесінің ерекше жағдайын 18 ғасырдың ортасында жариялаған.
Тарату қатесі және конвергенция
Суретте sin x нүктесінің шамамен дәл келтірілуі көрсетілген. Қызғылт түсті қисық – жеті дәрежелі көпмүше: Бұл шамалаудағы қателік 0,08215-тен аспайды. (−π < x < π) нүктесіндегі цикл үшін қателік 0,08215-тен кем. Атап айтқанда, −1 < x < 1 болғанда қателік 0,000003-тен аз. Керісінше, ln(1 + x) табиғи логарифм функциясы және оның кейбір Тейлор көпмүшелері де көрсетілген. Бұл шамалаулар тек −1 < x ≤ 1 аймағында ғана функцияға жақындасады; осы аймақтан тыс жерде жоғары дәрежелі Тейлор көпмүшелері функцияны нашар шамалайды. Функцияны n-ші дәрежелі Тейлор көпмүшесімен жуықтау кезінде туындаған қателік – қалдық немесе ресми қателік деп аталады және Rn(x) функциясымен белгіленеді. Тейлор теоремасы қалдықтың мөлшерін бағалау үшін қолданылуы мүмкін. Жалпы алғанда, Тейлор қатары әрқашан жинақтала бермейді. Шындығында, жинақталатын Тейлор қатарына ие функциялар жиыны тегіс функциялардың Фреше кеңістігінде өте кішкентай жиынды құрайды. Егер f функциясының Тейлор қатары жинақталса да, оның лимиті f(x) функциясының мәніне тең болуы міндетті емес. Мысалы, функция нүктесінде шексіз дифференциалданады және ондағы барлық туындылары нөлге тең. Сәйкесінше, f(x) нүктесіндегі Тейлор қатары нөлге тең. Алайда, f(x) нөлдік функция емес, сондықтан оның Тейлор қатары бастапқы нүктесінде оған тең емес. Осылайша, f(x) – аналитикалық емес тегіс функцияның мысалы. Нақты талдауда бұл мысал, Тейлор қатарлары f(x) функциясына тең болмайтын, тіпті жинақталса да, шексіз дифференциалданатын f(x) функциялары бар екенін көрсетеді. Керісінше, күрделі талдауда зерттелген голоморфтық функциялар әрқашан жинақталатын Тейлор қатарына ие, тіпті сингулярлықтары бар мероморфтық функциялардың Тейлор қатарлары да функцияның өзінен өзгеше мәнге жинақталмайды. Алайда, e^(−1/z^(2)) күрделі функциясы z қиял осінің бойымен 0-ге жақындағанда 0-ге жақындамайды, сондықтан ол күрделі жазықтықта үздіксіз емес және оның Тейлор қатары 0-де анықталмайды. Жалпы алғанда, нақты немесе күрделі сандардың кез келген тізбегі нақты түзуде анықталған шексіз дифференциалданатын функцияның Тейлор қатарындағы коэффициенттер ретінде пайда болуы мүмкін, бұл Борель леммасының салдары. Нәтижесінде, Тейлор қатарының жинақталу радиусы нөлге тең болуы мүмкін. Тейлор қатарларының барлық жерде 0 жинақталу радиусы бар нақты түзуде анықталған шексіз дифференциалданатын функциялары да бар. Функцияны сингулярлыққа ортақталған Тейлор қатары түрінде жазу мүмкін емес; мұндай жағдайларда, x айнымалысының теріс дәрежелеріне де рұқсат берілсе, қатарды кеңейтуге қол жеткізуге болады; Лоран қатарын қараңыз. Мысалы, Лоран қатары түрінде жазылуы мүмкін.
The error in this approximation is no more than For a full cycle centered at the origin (−π < x < π) the error is less than 0.08215. In particular, for −1 < x < 1, the error is less than 0.000003. In contrast, also shown is a picture of the natural logarithm function ln(1 + x) and some of its Taylor polynomials around These approximations converge to the function only in the region −1 < x ≤ 1; outside of this region the higher degree Taylor polynomials are worse approximations for the function. The error incurred in approximating a function by its nth degree Taylor polynomial is called the remainder or residual and is denoted by the function Rn(x). Taylor's theorem can be used to obtain a bound on the size of the remainder. In general, Taylor series need not be convergent at all. And in fact the set of functions with a convergent Taylor series is a meager set in the Fréchet space of smooth functions. And even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function f (x). For example, the function
is infinitely differentiable at , and has all derivatives zero there. Consequently, the Taylor series of f (x) about is identically zero. However, f (x) is not the zero function, so does not equal its Taylor series around the origin. Thus, f (x) is an example of a non analytic smooth function. In real analysis, this example shows that there are infinitely differentiable functions f (x) whose Taylor series are not equal to f (x) even if they converge. By contrast, the holomorphic functions studied in complex analysis always possess a convergent Taylor series, and even the Taylor series of meromorphic functions, which might have singularities, never converge to a value different from the function itself. The complex function e^(−1/z^(2)), however, does not approach 0 when z approaches 0 along the imaginary axis, so it is not continuous in the complex plane and its Taylor series is undefined at 0. More generally, every sequence of real or complex numbers can appear as coefficients in the Taylor series of an infinitely differentiable function defined on the real line, a consequence of Borel's lemma. As a result, the radius of convergence of a Taylor series can be zero. There are even infinitely differentiable functions defined on the real line whose Taylor series have a radius of convergence 0 everywhere. A function cannot be written as a Taylor series centred at a singularity; in these cases, one can often still achieve a series expansion if one allows also negative powers of the variable x; see Laurent series. For example, can be written as a Laurent series.
Кейбір жалпы функциялар Маклаурин тізбектерінің тізімі
Кейін бірнеше маңызды Маклаурин қатарларын кеңейтулер келеді. Бұл кеңейтулердің бәрі күрделі аргументтері x үшін жарамды.
Фурье тізбектерімен салыстыру
Тригонометриялық Фурье тізбектері тригонометриялық функциялардың (синус және косинус) шексіз қосындысы ретінде периодты функцияны (немесе жабық аралық [a, b] бойынша анықталған функцияны) көрсетуге мүмкіндік береді. Осы мағынада Фурье тізбектері Тейлор тізбектеріне ұқсас, себебі соңғысы функцияларды шексіз дәрежелердің қосындысы ретінде көрсетуге мүмкіндік береді. Дегенмен, екі тізбек бір-бірінен бірнеше маңызды мәселелер бойынша ерекшеленеді: f(x) функциясының нүктесіндегі Тейлор тізбегінің шекті кесулерінің барлығы да сол нүктеде f-қа тең болады. Керісінше, Фурье тізбектері бүкіл аралық бойынша интегралдау арқылы есептеледі, сондықтан тізбектің барлық шекті кесулері дәл болатын нүкте, әдетте, табылмайды. Тейлор тізбектерін есептеу үшін функцияны бір нүктенің өте кішкентай аймағында білу қажет, ал Фурье тізбектерін есептеу үшін функцияны оның бүкіл домен аралығында білу қажет. Белгілі бір мағынада Тейлор тізбегін «жергілікті», ал Фурье тізбегін «глобалды» деп айтуға болады. Тейлор тізбегі бір нүктеде шексіз көп туындысы бар функция үшін анықталады, ал Фурье тізбегі кез келген интегралданатын функция үшін анықталады. Атап айтқанда, функция ешқандай жерде дифференциалдана бермейді. (Мысалы, f(x) Вейерштрасс функциясы болуы мүмкін.) Екі тізбектің да жуысу қасиеттері өте әртүрлі. Тейлор тізбегінің оң жуысу радиусы болса да, нәтижесіндегі тізбек функциямен сәйкес келмеуі мүмкін; бірақ егер функция аналитикалық болса, онда тізбек функцияға нүкте бойынша және жуысу аралығының кез келген тығыз жиынында біркелкі жуысады. Фурье тізбектеріне қатысты, егер функция квадраттық интегралданатын болса, онда тізбек квадраттық орташа бойынша жуысады, бірақ нүктелік немесе біркелкі жуысуды қамтамасыз ету үшін қосымша талаптар қажет (мысалы, егер функция периодты және C1 класына жатса, онда жуысу біркелкі болады). Соңында, практикада функцияны шекті сандармен жуықтау қажет, мысалы Тейлор полиномымен немесе тиісінше тригонометриялық тізбектің ішінара қосындысымен. Тейлор тізбегінің жағдайында қате оны есептеген нүктеге жақын жерде өте кішкентай, ал алыс нүктеде өте үлкен болуы мүмкін. Фурье тізбегінің жағдайында қате функцияның домені бойынша таралады.
The finite truncations of the Taylor series of f (x) about the point are all exactly equal to f at a. In contrast, the Fourier series is computed by integrating over an entire interval, so there is generally no such point where all the finite truncations of the series are exact. The computation of Taylor series requires the knowledge of the function on an arbitrary small neighbourhood of a point, whereas the computation of the Fourier series requires knowing the function on its whole domain interval. In a certain sense one could say that the Taylor series is "local" and the Fourier series is "global". The Taylor series is defined for a function which has infinitely many derivatives at a single point, whereas the Fourier series is defined for any integrable function. In particular, the function could be nowhere differentiable. (For example, f (x) could be a Weierstrass function.) The convergence of both series has very different properties. Even if the Taylor series has positive convergence radius, the resulting series may not coincide with the function; but if the function is analytic then the series converges pointwise to the function, and uniformly on every compact subset of the convergence interval. Concerning the Fourier series, if the function is square integrable then the series converges in quadratic mean, but additional requirements are needed to ensure the pointwise or uniform convergence (for instance, if the function is periodic and of class C1 then the convergence is uniform). Finally, in practice one wants to approximate the function with a finite number of terms, say with a Taylor polynomial or a partial sum of the trigonometric series, respectively. In the case of the Taylor series the error is very small in a neighbourhood of the point where it is computed, while it may be very large at a distant point. In the case of the Fourier series the error is distributed along the domain of the function.