Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Autonomous system (mathematics)
Автономные системы дифференциальных уравнений: определение, свойства и анализ. Математическая модель, не зависящая от времени, фазовый портрет и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, эволюция которой определяется исключительно её текущим состоянием.
System of ordinary differential equations whose current state solely determines its evolution
В математике автономная система или автономное дифференциальное уравнение — это система обыкновенных дифференциальных уравнений, не зависящая явно от независимой переменной. Если этой переменной является время, такие системы также называют системами, инвариантными относительно времени. Многие законы физики, где независимой переменной обычно является время, формулируются в виде автономных систем, поскольку предполагается, что законы природы, действующие сейчас, тождественны законам, действовавшим в прошлом или действующих в будущем.
In mathematics, an autonomous system or autonomous differential equation is a system of ordinary differential equations which does not explicitly depend on the independent variable. When the variable is time, they are also called time invariant systems. Many laws in physics, where the independent variable is usually assumed to be time, are expressed as autonomous systems because it is assumed the laws of nature which hold now are identical to those for any point in the past or future.
Качественный анализ
Автономные системы могут быть качественно проанализированы с использованием фазового пространства; в случае одной переменной это фазовая прямая.
Autonomous systems can be analyzed qualitatively using the phase space; in the one variable case, this is the phase line.
Методы растворения
Следующие методы применимы к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка *n* эквивалентно системе первого порядка размерности *n* (как описано в приведении к системе первого порядка), но не обязательно наоборот.
The following techniques apply to one dimensional autonomous differential equations. Any one dimensional equation of order is equivalent to an dimensional first order system (as described in reduction to a first order system), but not necessarily vice versa.
Высшие порядки
Не существует аналогичного метода для решения автономных уравнений третьего или более высокого порядка. Такие уравнения могут быть решены точно лишь в том случае, если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например, линейностью или зависимостью правой части уравнения только от зависимой переменной (то есть не от её производных). Это не должно удивлять, учитывая, что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут демонстрировать действительно хаотичное поведение, такое как аттрактор Лоренца и аттрактор Рёсслера. Аналогично, общие неавтономные уравнения второго порядка не имеют явного решения, поскольку они также могут быть хаотичными, как, например, периодически вынужденный маятник.
There is no analogous method for solving third or higher order autonomous equations. Such equations can only be solved exactly if they happen to have some other simplifying property, for instance linearity or dependence of the right side of the equation on the dependent variable only (i. e., not its derivatives). This should not be surprising, considering that nonlinear autonomous systems in three dimensions can produce truly chaotic behavior such as the Lorenz attractor and the Rössler attractor. Likewise, general non autonomous equations of second order are unsolvable explicitly, since these can also be chaotic, as in a periodically forced pendulum.
Многовариантный случай
В , где — n-мерный столбцовый вектор, зависящий от . Решение имеет вид , где — постоянный n-мерный вектор.
In , where is an dimensional column vector dependent on
The solution is where is an constant vector.