Введение

Российский математик (1937–2010)

Александр Гивенталь
Виктор Горюнов
Сабир Гусейн Заде
Эмиль Хорозов
Юлий Ильяшенко
Борис Хесин – советский и российский математик. Он наиболее известен теоремой Колмогорова — Арнольда — Мозера об устойчивости интегрируемых систем и внес вклад в ряд областей, включая геометрическую теорию динамических систем, алгебру, теорию катастроф, топологию, вещественную алгебраическую геометрию, симплектическую геометрию, симплектическую топологию, дифференциальные уравнения, классическую механику, дифференциально-геометрический подход к гидродинамике, геометрический анализ и теорию сингулярностей, в том числе в постановку проблемы классификации ADE. Его первым крупным результатом стало решение тринадцатой проблемы Гильберта в 1957 году в возрасте 19 лет. Он был сооснователем трех новых направлений в математике: топологической теории Галуа (вместе со своим учеником Аскольдом Хованским), симплектической топологии и теории КАМ. Арнольд также был известен как популяризатор математики. Благодаря своим лекциям, семинарам и авторству нескольких учебников (таких как «Математические методы классической механики») и научно-популярных книг он оказал влияние на многих математиков и физиков. Многие его книги были переведены на английский язык. Его взгляды на образование особенно резко отличались от взглядов Бурбаки.

Биография

Владимир Игоревич Арнольд родился 12 июня 1937 года в Одессе, Советский Союз (ныне Одесса, Украина). Его отцом был Игорь Владимирович Арнольд (1900–1948), математик. Его матерью была Нина Александровна Арнольд (1909–1986, урождённая Исакович), еврейский искусствовед. Будучи школьником, Арнольд однажды спросил отца, почему произведение двух отрицательных чисел даёт положительное число, и отец дал ответ, основанный на свойствах поля действительных чисел и сохранении дистрибутивности. Арнольд был глубоко разочарован этим ответом и выработал неприязнь к аксиоматическому методу, которая сохранялась на протяжении всей его жизни. Когда Арнольду было тринадцать лет, его дядя Николай Б. Житков, инженер, рассказал ему о математическом анализе и о том, как его можно использовать для понимания некоторых физических явлений. Это способствовало пробуждению его интереса к математике, и он начал самостоятельно изучать математические книги, оставленные отцом, в том числе труды Леонарда Эйлера и Шарля Эрмита. Будучи студентом Андрея Колмогорова в Московском государственном университете и ещё подростком, Арнольд в 1957 году показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть построена из конечного числа функций двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта. Это теорема о представлении Колмогорова — Арнольда. После окончания Московского государственного университета в 1959 году он работал там до 1986 года (профессор с 1965 года), а затем в Математическом институте имени Стеклова. В 1990 году он стал академиком Академии наук Советского Союза (Российской академии наук с 1991 года). Можно сказать, что Арнольд заложил основы теории симплектической топологии как самостоятельной дисциплины. Предположение Арнольда о числе фиксированных точек гамильтоновых симплектоморфизмов и лагранжевых пересечений также послужило стимулом для развития гомологии Флоэра. В 1999 году он попал в серьёзную велосипедную аварию в Париже, в результате которой получил травматическое повреждение мозга. Он пришёл в сознание через несколько недель, но страдал амнезией и некоторое время не мог даже узнать свою жену в больнице. Арнольд работал в Математическом институте Стеклова в Москве и в Университете Париж Дофин до самой смерти. По состоянию на 2006 год он имел самый высокий индекс цитирования среди российских учёных и h-индекс 40. Среди его учеников — Александр Гивенталь, Виктор Горюнов, Сабир Гусейн-Заде, Эмиль Хорозов, Юлий Ильяшенко, Борис Хесин, Аскольд Хованский, Николай Нехорошев, Борис Шапиро, Александр Варченко, Виктор Васильев и Владимир Закалюкин. Арнольд был известен своим чувством юмора и среди своих учеников и коллег. Например, однажды на своём семинаре в Москве, в начале учебного года, когда он обычно формулировал новые задачи, он сказал:

"Существует общий принцип: глупый человек может задать такие вопросы, на которые не сможет ответить сто мудрецов. В соответствии с этим принципом я сформулирую несколько задач."

Популярные математические труды

Арнольд хорошо известен своим ясным и изящным стилем письма, сочетающим математическую строгость с физической интуицией и непринужденный, разговорный стиль преподавания и обучения. Его работы предлагают свежий, зачастую геометрический подход к традиционным математическим темам, таким как обыкновенные дифференциальные уравнения, и его многочисленные учебники оказали значительное влияние на развитие новых областей математики. Основная критика в адрес педагогики Арнольда заключается в том, что его книги – это прекрасное изложение материала, которое высоко ценится специалистами, но в них опущено слишком много деталей, чтобы студенты могли освоить математический аппарат, необходимый для доказательства утверждений, которые он обосновывает с такой легкостью. Сам Арнольд утверждал, что его книги предназначены для тех, кто действительно стремится к пониманию предмета (Chicone, 2007). Арнольд был резким критиком тенденции к чрезмерной абстракции в математике, набиравшей силу в середине прошлого века. Он был твердо убежден, что этот подход, наиболее последовательно реализованный школой Бурбаки во Франции, первоначально негативно сказался на французском математическом образовании, а затем и на образовании в других странах. Арнольд проявлял большой интерес к истории математики. В одном из интервью он рассказывал, что изучал труды классиков, особенно Гюйгенса, Ньютона и Пуанкаре, и неоднократно находил в них идеи, которые еще не были исследованы.

Математическая работа

Арнольд работал в области теории динамических систем, теории катастроф, топологии, алгебраической геометрии, симплектической геометрии, дифференциальных уравнений, классической механики, гидродинамики и теории особенностей.

Тринадцатая задача Гильберта

Проблема заключается в следующем вопросе: можно ли любую непрерывную функцию трех переменных представить в виде композиции конечного числа непрерывных функций двух переменных? Положительный ответ на этот общий вопрос дал в 1957 году Владимир Арнольд, тогда всего девятнадцатилетний студент Андрея Колмогорова. Колмогоров годом ранее показал, что любая функция нескольких переменных может быть построена из конечного числа функций трех переменных. Арнольд затем развил эту работу, показав, что для этого на самом деле достаточно функций двух переменных, тем самым ответив на вопрос Гильберта для класса непрерывных функций.

Динамические системы

Мозер и Арнольд развили идеи Колмогорова (который был вдохновлен вопросами, поставленными Пуанкаре) и заложили основы того, что сейчас известно как теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера (или "теория КАМ"), изучающей устойчивость некоторых квазипериодических движений (почти интегрируемых гамильтоновых систем) при наличии возмущений. Теория КАМ демонстрирует, что, несмотря на эти возмущения, такие системы могут оставаться стабильными на бесконечном промежутке времени, и определяет условия, при которых это возможно. В 1964 году Арнольд ввел понятие сети Арнольда, первого примера стохастической сети.

Теория сингулярности

В 1965 году Арнольд посетил семинар Рене Тома по теории катастроф. Позже он говорил об этом так: "Я глубоко признателен Тому, чей семинар по теории сингулярностей в Институте высших научных исследований, который я посещал на протяжении всего 1965 года, коренным образом изменил мое математическое мировоззрение". После этого события теория сингулярностей стала одним из главных направлений исследований Арнольда и его учеников. Одной из его наиболее известных работ в этой области является классификация простых сингулярностей, представленная в статье "Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек, группы Вейля Ak, Dk, Ek и лагранжевы сингулярности".

Динамика жидкостей

В 1966 году Арнольд опубликовал "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits", в которой он представил единую геометрическую интерпретацию уравнений Эйлера для вращающихся твердых тел и уравнений Эйлера гидродинамики, тем самым установив связь между областями, которые ранее считались несвязанными, и открыв возможность математического решения многих задач, связанных с течениями жидкости и их турбулентностью.

Реальная алгебраическая геометрия

В 1971 году Арнольд опубликовал работу "Об упорядочении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм", которая дала новый импульс развитию вещественной алгебраической геометрии. В этой работе он добился существенного прогресса в направлении решения гипотезы Гудкова, установив связь между ней и четырехмерной топологией. Полное решение гипотезы было впоследствии получено В. А. Рохлиным, опираясь на результаты Арнольда.

Симплектическая геометрия

Предположение Арнольда, устанавливающее связь между числом неподвижных точек гамильтоновых симплектоморфизмов и топологией лежащих в основе многообразий, послужило мотивацией для многих пионерских исследований в симплектической топологии.

Топология

По словам Виктора Васильева, Арнольд "работал сравнительно немного над топологией как самоцелью". Его больше мотивировали задачи из других областей математики, где топология могла оказаться полезной. Среди его вклада – изобретение топологической формулировки теоремы Абеля — Руффини и начальное развитие некоторых связанных с ней идей, что в итоге привело к созданию области топологической теории Галуа в 1960-х годах.

Теория плоских кривых

По словам Марселя Бергера, Арнольд совершил революцию в теории плоских кривых. Среди его вкладов — инварианты Арнольда плоских кривых.

Другое

Арнольд предположил существование гомбока. Арнольд обобщил результаты Исаака Ньютона, Пьера Симона Лапласа и Джеймса Айвори относительно теоремы о оболочке, показав её применимость к алгебраическим гиперповерхностям.

Опущение медалей Филдса

Несмотря на то, что Арнольд был номинирован на медаль Филдса в 1974 году, одну из высших наград, которой может быть удостоен математик, вмешательство советского правительства привело к отзыву его кандидатуры. Публичная оппозиция Арнольда преследованиям диссидентов привела его к прямому конфликту с влиятельными советскими должностными лицами, и сам он подвергся преследованиям, включая запрет на выезд из Советского Союза на протяжении большей части 1970-х и 1980-х годов.