Владимир Игоревич Арнольд: өмірі мен ғылыми еңбектері

Кіріспе

Ресей математигі (1937–2010)

Александр Гивенталь
Виктор Горюнов
Сабир Гусейн Заде
Эмиль Хорозов
Юлий Ильяшенко
Борис Хесин – кеңестік және ресейлік математик. Ол интегралданатын жүйелердің тұрақтылығына қатысты Колмогоров–Арнольд–Мозер теоремасымен әйгілі және динамикалық жүйелер теориясының геометриялық теориясы, алгебра, катастрофалар теориясы, топология, нақты алгебралық геометрия, симплектикалық геометрия, симплектикалық топология, дифференциалдық теңдеулер, классикалық механика, гидродинамикаға дифференциалдық-геометриялық тәсіл, геометриялық талдау және сингулярлық теория сияқты бірнеше салаға үлес қосты, соның ішінде ADE жіктемесі мәселесін қойды. Оның алғашқы маңызды нәтижесі – 1957 жылы 19 жасында Гилберттің он үшінші мәселесін шешуі болды. Ол математиканың үш жаңа саласын құрды: топологиялық Галуа теориясы (оның шәкірті Аскольд Хованскиймен бірге), симплектикалық топология және КАМ теориясы. Арнольд математиканы насихаттаушы ретінде де танымал болды. Лекциялары, семинарлары және бірнеше оқулықтары (мысалы, «Классикалық механиканың математикалық әдістері») мен танымал математика кітаптарының авторы ретінде ол көптеген математиктер мен физиктерге ықпал етті. Оның көптеген кітаптары ағылшын тіліне аударылды. Білім беру жөніндегі оның көзқарастары Бурбакидің көзқарастарына қатысты қарсы болды.

Өмірбаян

Владимир Игоревич Арнольд 1937 жылғы 12 маусымда Кеңес Одағының Одесса қаласында (қазіргі Одесса, Украина) дүниеге келген. Оның әкесі Игорь Владимирович Арнольд (1900–1948) – математик. Анасы Нина Александровна Арнольд (1909–1986, туған тегі Исакович) – еврей суретшілер тарихын зерттеуші. Оқушы кезінде Арнольд бір күні әкесінен екі теріс санды көбейтудің нәтижесі неге оң сан болатынын сұрады. Әкесі нақты сандардың өрістік қасиеттері және тарату заңының сақталуы туралы түсіндірді. Арнольд бұл жауаптан көңілі қалды және өмірі бойына аксиоматикалық әдіске деген қарсылығын сақтады. Арнольд он үш жасқа келгенде, инженер болған ағасы Николай Б. Житков оған математикалық талдау туралы айтып, оның физикалық құбылыстарды түсінудегі маңыздылығын түсіндірді. Бұл математикаға деген қызығушылығын оятып, әкесінен қалған математикалық кітаптарды, соның ішінде Леонард Эйлер мен Шарль Эрмиттің еңбектерін оқып үйренуге бастады. Мәскеу мемлекеттік университетінде Андрей Колмогоровтың студенті және жасөспірім кезінде 1957 жылы, Арнольд бірнеше айнымалысы бар кез келген үздіксіз функцияны екі айнымалысы бар функциялардың шекті санымен құрастыруға болатынын көрсетті, осылайша Гильберттің он үшінші мәселесін шешті. Бұл Колмогоров-Арнольд бейнелеу теоремасы болып табылады. 1959 жылы Мәскеу мемлекеттік университетін бітіргеннен кейін 1986 жылға дейін (1965 жылдан бері профессор) сол жерде жұмыс істеді, содан кейін Стеклов математикалық институтында еңбек етті. 1990 жылы Кеңес Одағы Ғылым академиясының академигі (1991 жылдан бері Ресей Ғылым академиясы) атанды. Арнольдтың симплектикалық топология теориясын жеке ғылым саласы ретінде қалыптастырғанын айтуға болады. Арнольдтың Гамильтон симплектоморфизмдерінің тұрақты нүктелерінің саны және Лагранж қиылыстары туралы болжамы Флор гомологиясының дамуына да ықпал етті. 1999 жылы Парижде велосипед апатында қаза болды, нәтижесінде миына ауыр жарақат алды. Бірнеше аптадан кейін есін жинады, бірақ есте сақтау қабілетінен айырылып, ауруханада тіпті әйелін танымай қалды. Бірақ жақсы жазылып кетті. Арнольд Мәскеудегі Стеклов математикалық институтында және Париж Дофин университетінде өмірінің соңына дейін жұмыс істеді. 2006 жылы ресейлік ғалымдар арасындағы цитата индексі ең жоғары болды және h-индексі 40-қа тең еді. Оның шәкірттері: Александр Гивентал, Виктор Горюнов, Сабир Гусейн Заде, Эмиль Хорозов, Юлий Ильяшенко, Борис Хесин, Аскольд Хованский, Николай Нехорошев, Борис Шапиро, Александр Варченко, Виктор Васильев және Владимир Закалюкин. Арнольд студенттері мен әріптестері арасында әзілге құмарлығымен де танымал болды. Мысалы, бірде Мәскеудегі семинарында, оқу жылының басында, жаңа мәселелерді қоятын кезде ол былай деді:

Vladimir Igorevich Arnold was born on 12 June 1937 in Odesa, Soviet Union (now Odesa, Ukraine). His father was Igor Vladimirovich Arnold (1900–1948), a mathematician. His mother was Nina Alexandrovna Arnold (1909–1986, née Isakovich), a Jewish art historian. While a school student, Arnold once asked his father on the reason why the multiplication of two negative numbers yielded a positive number, and his father provided an answer involving the field properties of real numbers and the preservation of the distributive property. Arnold was deeply disappointed with this answer, and developed an aversion to the axiomatic method that lasted through his life. When Arnold was thirteen, his uncle Nikolai B. Zhitkov, who was an engineer, told him about calculus and how it could be used to understand some physical phenomena, this contributed to sparking his interest for mathematics, and he started to study by himself the mathematical books his father had left to him, which included some works of Leonhard Euler and Charles Hermite. While a student of Andrey Kolmogorov at Moscow State University and still a teenager, Arnold showed in 1957 that any continuous function of several variables can be constructed with a finite number of two variable functions, thereby solving Hilbert's thirteenth problem. This is the Kolmogorov–Arnold representation theorem. After graduating from Moscow State University in 1959, he worked there until 1986 (a professor since 1965), and then at Steklov Mathematical Institute. He became an academician of the Academy of Sciences of the Soviet Union (Russian Academy of Science since 1991) in 1990. Arnold can be said to have initiated the theory of symplectic topology as a distinct discipline. The Arnold conjecture on the number of fixed points of Hamiltonian symplectomorphisms and Lagrangian intersections was also a motivation in the development of Floer homology. In 1999 he suffered a serious bicycle accident in Paris, resulting in traumatic brain injury. He regained consciousness after a few weeks but had amnesia and for some time could not even recognize his own wife at the hospital, He went on to make a good recovery. Arnold worked at the Steklov Mathematical Institute in Moscow and at Paris Dauphine University up until his death. as of 2006 he was reported to have the highest citation index among Russian scientists, and h index of 40. His students include Alexander Givental, Victor Goryunov, Sabir Gusein Zade, Emil Horozov, Yulij Ilyashenko, Boris Khesin, Askold Khovanskii, Nikolay Nekhoroshev, Boris Shapiro, Alexander Varchenko, Victor Vassiliev and Vladimir Zakalyukin. To his students and colleagues Arnold was known also for his sense of humour. For example, once at his seminar in Moscow, at the beginning of the school year, when he usually was formulating new problems, he said:

«Бір жалпы қағида бар: ақымақ адам жүз дана адамның жауап бере алмайтын сұрақтарды қоя алады. Осы қағидаға сәйкес мен бірнеше мәселелерді ұсынамын.»

Математикалық еңбектер

Арнольд математикалық қатаңдықты физикалық түсінікпен және оқыту мен білім берудің жеңіл әңгімелесу стилімен үйлестіретін, айқын жазу стилімен белгілі. Оның еңбектері қалыпты дифференциалдық теңдеулер сияқты дәстүрлі математикалық тақырыптарға жаңа, көбінесе геометриялық көзқарас ұсынады, ал оның көптеген оқулықтары математиканың жаңа салаларын дамытуға зор ықпал етті. Арнольдтың педагогикасына қатысты жиі айтылатын сын – оның кітаптары "сарапшылар бағалайтын тақырыптарды көркем түрде баяндайды, бірақ студенттерге оның оңай түсіндіретін тұжырымдамаларын дәлелдеу үшін қажетті математикалық білімді меңгеру үшін жеткілікті мәлімет берілмейді". Ол өз кітаптарының "шын түсінуге ниеттенгендерге" сабақ беру мақсадында жазылғанын айтқан (Chicone, 2007). Арнольд өткен ғасырдың ортасында математикадағы абстракция деңгейінің артуына қарсы шықты. Ол бұл тәсілдің – әсіресе Франциядағы Бурбаки мектебі арқылы кеңінен тараған – бастапқыда француз математикалық біліміне, содан кейін басқа елдерге де кері әсер еткеніне қатысты өте қатаң пікір білдірді. Арнольд математика тарихына үлкен қызығушылық танытты. Сұхбаттарының бірінде ол классиктерді, әсіресе Гюйгенс, Ньютон және Пуанкаре еңбектерін зерттегенін айтты және көптеген жағдайларда олардың еңбектерінде әлі зерттелмеген жаңа идеяларға тапқандығын жеткізді.

Математикалық жұмыс

Арнольд динамикалық жүйелер теориясы, катастрофалар теориясы, топология, алгебралық геометрия, симплектикалық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, классикалық механика, гидродинамика және ерекшеліктер теориясы салаларында жұмыс істеді.

Гилберттің он үшінші мәселесі

Мәселе мына сұрақтан тұрады: үш айнымалының кез келген үздіксіз функциясын екі айнымалының шекті сандағы үздіксіз функцияларының қосындысы түрінде көрсетуге болады ма? Оң жауапты 1957 жылы он тоғыз жасар Владимир Арнольд, Андрей Колмогоровтың шәкірті берді. Колмогоров өткен жылы бірнеше айнымалының кез келген функциясын шекті сандағы үш айнымалы функциялар арқылы құрастыруға болатынын көрсеткен еді. Арнольд осы жұмысты дамытып, шындығында екі айнымалы функциялар ғана қажет екенін көрсетті, осылайша үздіксіз функциялар класы үшін қойылған Гильберт сұрағына жауап берді.

Динамикалық жүйелер

Мозер мен Арнольд Колмогоровтың идеяларын кеңейтті (Поанкаре қойған сұрақтарға шабыдандырылып) және қазір Колмогоров–Арнольд–Мозер теоремасы (немесе "КАМ теориясы") деп танылатын нәрсенің пайда болуына себеп болды. Бұл теория, кейбір квазипериодикалық қозғалыстардың (шамалы интегралданатын Гамильтон жүйелері) бұзылған жағдайда сақталуымен айналысады. КАМ теориясы көрсеткендей, бұзылыстарға қарамастан, мұндай жүйелер шексіз уақыт бойы тұрақты болып қалуы мүмкін, сондай-ақ мұның қандай шарттарда болатынын нақтылайды. 1964 жылы Арнольд Арнольд торының алғашқы мысалы – стохастикалық торды ұсынды.

Сингулярлық теориясы

1965 жылы Арнольд Рене Томның апаттар теориясы бойынша семинарына қатысты. Кейін ол осы семинар туралы былай деді: "Томға үлкен қарыздымын, өйткені 1965 жыл бойына жиі қатысқан Institut des Hautes Etudes Scientifiques-тегі сингулярлықтар семинары менің математикалық әлеміне түбегейлі өзгеріс әкелді". Осы оқиғадан кейін сингулярлықтар теориясы Арнольд пен оның шәкірттерінің басты қызығушылығына айналды. Осы саладағы ең белгілі нәтижелерінің бірі – оның қарапайым сингулярлықтарды жіктеуі, ол "Дигенеративті сындық нүктелер маңындағы функциялардың нормалық түрлері, Ak, Dk, Ek және Лагранж сингулярлықтарының Вейль топтары" атты мақаласында жарияланған.

Сұйықтық динамикасы

1966 жылы Арнольд "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits" атты еңбегін жариялады. Онда ол шексіз өлшемді Ли тобының дифференциалдық геометриясы және оның идеальді сұйықтар гидродинамикасына қолданылуы туралы жалпы геометриялық тұжырымдаманы ұсынды. Бұл бұрын байланысты емес деп есептелген мәселелерді байланыстырып, сұйық ағындары мен олардың турбуленттігіне қатысты көптеген сұрақтарға математикалық шешімдер табуға мүмкіндік берді.

Нақты алгебралық геометрия

1971 жылы Арнольд "Нақты жазықтық алгебралық қисықтарының овалдарының орналасуы, төрт өлшемді тегіс манифольдтардың инволюциялары және интегралды квадраттық формалардың арифметикасы туралы" атты еңбегін жариялады, бұл нақты алгебралық геометрияға жаңа серпіліс берді. Онда ол Гудковтың болжамын шешу жолында маңызды қадамдар жасады, оны төрт өлшемді топологиямен байланыстырып тапты. Бұл болжамды В. А. Рохлин Арнольдтың жұмысын пайдалана отырып, толық шешті.

Симплекстік геометрия

Арнольд болжамы, Гамильтон симплектоморфизмдерінің түрақты нүктелерінің саны мен жатқан көптүрліліктердің топологиясын байланыстыратын, симплектикалық топологиядағы көптеген алғашқы зерттеулердің бастапқы себебі болды.

Топология

Виктор Васильевтің айтуынша, Арнольд "топологияны өзі үшін салыстырмалы түрде аз зерттеді". Оны математиканың басқа салаларындағы мәселелер ынталандырды, онда топология пайдалы болуы мүмкін еді. Оның еңбегіне Абель-Руффини теоремасының топологиялық формасын ойлап табу және одан туындайтын кейбір идеяларды бастапқыда дамыту кіреді, бұл жұмыс 1960 жылдары топологиялық Галуа теориясының пайда болуына әкелді.

Жазық қисықтардың теориясы

Марсель Бергердің сөзінше, Арнольд жазық қисықтар теориясын түбегейлі өзгертті. Оның еңбегінің ішінде жазық қисықтардың Арнольд инварианттары да бар.

Басқа

Арнольд "гомбоч" бар екенін болжады. Арнольд Исаак Ньютон, Пьер Симон Лаплас және Джеймс Айворидің қабық теоремасы бойынша алған нәтижелерін кеңейтіп, оның алгебралық гипербеттерге де қолданылатынын көрсетті.

Филдс медаліне ие болмау

Арнольд 1974 жылы математиктерге берілетін ең жоғары наградалардың бірі – Филдс медаліне ұсынылған болатын, бірақ Кеңес үкіметінің араласуы салдарынан одан бас тартылды. Арнольдтың диссиденттерді қуғындауға қарсы шығуы оны ықпалды кеңес шенеуніктерімен тікелей қақтығысқа түсірді, және ол өзі де қуғын-сүргінге ұшырады, соның ішінде 1970-ші және 1980-ші жылдардың көп бөлігінде Кеңес Одағынан шығуға рұқсат алмады.