Андрей Николаевич Колмогоров: Жизнь и вклад в математику

Введение

Советский математик (1903–1987)

Андрей Николаевич Колмогоров (25 апреля 1903 – 20 октября 1987) – советский математик, внесший значительный вклад в математические области теории вероятностей, топологии, интуиционистской логики, теории турбулентности, классической механики, алгоритмической теории информации и вычислительной сложности.

Ранние годы

Андрей Колмогоров родился в 1903 году в Тамбове, примерно в 500 километрах к юго-юго-востоку от Москвы. Его мать, Мария Яковлевна Колмогорова, умерла при его рождении, не состоя в браке. Андрея воспитали две его тети в Туношне (недалеко от Ярославля) в поместье его деда, состоятельного дворянина. Об отце Андрея известно немного. Предположительно, его звали Николай Матвеевич Катаев, и он был агрономом. Катаев был сослан из Санкт-Петербурга в Ярославскую губернию после участия в революционном движении против царей. Он исчез в 1919 году и, вероятно, был убит во время Гражданской войны в России. Андрей Колмогоров получил образование в деревенской школе своей тети Веры, а его первые литературные опыты и математические работы были опубликованы в школьном журнале «Летучая весна». Андрей (в возрасте пяти лет) был «редактором» математического раздела этого журнала. В этом журнале было опубликовано первое математическое открытие Колмогорова: в пять лет он заметил закономерность в сумме ряда нечетных чисел: и т.д. В 1910 году его тетя усыновила его, и они переехали в Москву, где он окончил среднюю школу в 1920 году. Позже в том же году Колмогоров начал учиться в Московском государственном университете и одновременно в Московском институте химии и технологии имени Менделеева. Колмогоров писал об этом времени: «Я поступил в Московский университет с неплохими знаниями математики. Я знал, в частности, основы теории множеств. Я изучал многие вопросы по статьям в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона, дополняя то, что было представлено в них слишком кратко». Колмогоров приобрел репутацию человека с широчайшим кругозором. Будучи студентом, он посещал семинары русского историка С. В. Бахрушина и опубликовал свою первую научную работу о землевладении в Новгородской республике в XV и XVI веках. В тот же период (1921–1922 гг.) Колмогоров разработал и доказал несколько результатов в теории множеств и теории рядов Фурье.

Andrey Kolmogorov was born in Tambov, about 500 kilometers south southeast of Moscow, in 1903. His unmarried mother, Maria Yakovlevna Kolmogorova, died giving birth to him. Andrey was raised by two of his aunts in Tunoshna (near Yaroslavl) at the estate of his grandfather, a well to do nobleman. Little is known about Andrey's father. He was supposedly named Nikolai Matveyevich Katayev and had been an agronomist. Katayev had been exiled from Saint Petersburg to the Yaroslavl province after his participation in the revolutionary movement against the tsars. He disappeared in 1919 and was presumed to have been killed in the Russian Civil War. Andrey Kolmogorov was educated in his aunt Vera's village school, and his earliest literary efforts and mathematical papers were printed in the school journal "The Swallow of Spring". Andrey (at the age of five) was the "editor" of the mathematical section of this journal. Kolmogorov's first mathematical discovery was published in this journal: at the age of five he noticed the regularity in the sum of the series of odd numbers: etc. In 1910, his aunt adopted him, and they moved to Moscow, where he graduated from high school in 1920. Later that same year, Kolmogorov began to study at Moscow State University and at the same time Mendeleev Moscow Institute of Chemistry and Technology. Kolmogorov writes about this time: "I arrived at Moscow University with a fair knowledge of mathematics. I knew in particular the beginning of set theory. I studied many questions in articles in the Encyclopedia of Brockhaus and Efron, filling out for myself what was presented too concisely in these articles." Kolmogorov gained a reputation for his wide ranging erudition. While an undergraduate student in college, he attended the seminars of the Russian historian S. V. Bakhrushin, and he published his first research paper on the fifteenth and sixteenth centuries' landholding practices in the Novgorod Republic. During the same period (1921–22), Kolmogorov worked out and proved several results in set theory and in the theory of Fourier series.

Взрослая жизнь

В 1922 году Колмогоров получил международное признание за построение ряда Фурье, расходящегося почти везде. Примерно в это время он решил посвятить свою жизнь математике. В 1925 году Колмогоров окончил Московский государственный университет и начал заниматься под руководством Николая Лузина. Он установил близкую дружбу с Павлом Александровым, сокурсником Лузина; действительно, ряд исследователей пришли к выводу, что эти два друга были связаны гомосексуальными отношениями, хотя ни один из них не признавал этого открыто при жизни. Колмогоров (вместе с Александром Хинчиным) заинтересовался теорией вероятностей. Также в 1925 году он опубликовал свою работу по интуиционистской логике «О принципе исключённого среднего», в которой доказал, что при определённой интерпретации все утверждения классической формальной логики могут быть сформулированы как утверждения интуиционистской логики. В 1929 году Колмогоров получил учёную степень кандидата физико-математических наук (Ph.D.) в Московском государственном университете. В 1929 году Колмогоров и Александров во время длительного путешествия около месяца провели на острове в озере Севан в Армении. В 1930 году Колмогоров совершил свою первую длительную зарубежную поездку, посетив Гёттинген и Мюнхен, а затем Париж. Он установил различные научные контакты в Гёттингене, сначала с Рихардом Курантом и его учениками, работавшими над предельными теоремами, где диффузионные процессы оказались пределами дискретных случайных процессов, затем с Германом Вейлем в области интуиционистской логики и, наконец, с Эдмундом Ландау в теории функций. Его основополагающая работа «Об аналитических методах теории вероятностей» была опубликована (на немецком языке) в 1931 году. Также в 1931 году он стал профессором Московского государственного университета. В 1933 году Колмогоров опубликовал свою книгу «Основы теории вероятностей», заложив современные аксиоматические основы теории вероятностей и утвердив свою репутацию ведущего мирового эксперта в этой области. В 1935 году Колмогоров стал первым заведующим кафедрой теории вероятностей в Московском государственном университете. Приблизительно в те же годы (1936) Колмогоров внес вклад в область экологии, обобщив модель Лотки — Вольтерры для систем «хищник — жертва». Во время Большого террора в 1936 году научный руководитель Колмогорова Николай Лузин стал видной целью сталинского режима в так называемом «Деле Лузина». Колмогоров и несколько других учеников Лузина выступили против Лузина, обвинив его в плагиате, кумовстве и других злоупотреблениях; слушания в конечном итоге пришли к выводу, что он служил «фашистской науке» и, следовательно, был врагом советского народа. Лузин лишился академических должностей, но, что примечательно, не был арестован и не был исключён из Академии наук СССР. Вопрос о том, были ли Колмогоров и другие принуждены к даче показаний против своего учителя, остаётся предметом значительных спекуляций среди историков; все вовлечённые стороны отказались публично обсуждать это дело до конца своей жизни. Советский математик Семён Самсонович Кутателадзе пришёл к выводу в 2013 году, после изучения архивных документов, ставших доступными в 1990-х годах, и других сохранившихся свидетельств, что ученики Лузина инициировали обвинения против Лузина из-за личной неприязни; не было убедительных доказательств того, что ученики были принуждены государством, и не было убедительных доказательств в поддержку их обвинений в академической недобросовестности. Советский историк математики А. П. Юшкевич предположил, что, в отличие от многих других громких преследований той эпохи, Сталин лично не инициировал преследование Лузина и в конечном итоге пришёл к выводу, что он не представляет угрозы для режима, что объясняет необычно мягкое наказание по сравнению с другими современниками. В 1938 году Колмогоров в статье «установил основные теоремы для сглаживания и прогнозирования стационарных стохастических процессов» — работа, имевшая важное военное применение во время холодной войны. В 1939 году он был избран действительным членом (академиком) Академии наук СССР. Во время Второй мировой войны Колмогоров внес вклад в советские военные усилия, применив теорию вероятностей к артиллерийскому огню, разработав схему стохастического распределения заградительных аэростатов, предназначенных для защиты Москвы от немецких бомбардировщиков во время битвы за Москву. В изучении стохастических процессов, особенно марковских процессов, Колмогоров и британский математик Сидни Чепмен независимо разработали ключевой набор уравнений в этой области, получивших название уравнений Чепмена — Колмогорова. Позднее Колмогоров сосредоточил свои исследования на турбулентности, начав публикации в 1941 году. В классической механике он наиболее известен теоремой Колмогорова — Арнольда — Мозера, впервые представленной в 1954 году на Международном конгрессе математиков. Колмогоров умер в Москве в 1987 году и был похоронен на Новодевичьем кладбище. Ему приписывают следующее высказывание: «Каждый математик считает, что он опережает других. Причина, по которой они не заявляют об этом публично, заключается в том, что они разумны». Владимир Арнольд однажды сказал: «Колмогоров — Пуанкаре — Гаусс — Эйлер — Ньютон, всего пять жизней отделяют нас от источника нашей науки».

In 1922, Kolmogorov gained international recognition for constructing a Fourier series that diverges almost everywhere. Around this time, he decided to devote his life to mathematics. In 1925, Kolmogorov graduated from Moscow State University and began to study under the supervision of Nikolai Luzin. He formed a lifelong close friendship with Pavel Alexandrov, a fellow student of Luzin; indeed, several researchers have concluded that the two friends were involved in a homosexual relationship, although neither acknowledged this openly during their lifetimes. Kolmogorov (together with Aleksandr Khinchin) became interested in probability theory. Also in 1925, he published his work in intuitionistic logic, "On the principle of the excluded middle," in which he proved that under a certain interpretation all statements of classical formal logic can be formulated as those of intuitionistic logic. In 1929, Kolmogorov earned his Doctor of Philosophy (Ph. D.) degree from Moscow State University. In 1929, Kolmogorov and Alexandrov during a long travel stayed about a month in an island in lake Sevan in Armenia. In 1930, Kolmogorov went on his first long trip abroad, traveling to Göttingen and Munich and then to Paris. He had various scientific contacts in Göttingen, first with Richard Courant and his students working on limit theorems, where diffusion processes proved to be the limits of discrete random processes, then with Hermann Weyl in intuitionistic logic, and lastly with Edmund Landau in function theory. His pioneering work About the Analytical Methods of Probability Theory was published (in German) in 1931. Also in 1931, he became a professor at Moscow State University. In 1933, Kolmogorov published his book, Foundations of the Theory of Probability, laying the modern axiomatic foundations of probability theory and establishing his reputation as the world's leading expert in this field. In 1935, Kolmogorov became the first chairman of the department of probability theory at Moscow State University. Around the same years (1936) Kolmogorov contributed to the field of ecology and generalized the Lotka–Volterra model of predator–prey systems. During the Great Purge in 1936, Kolmogorov's doctoral advisor Nikolai Luzin became a high profile target of Stalin's regime in what is now called the "Luzin Affair." Kolmogorov and several other students of Luzin testified against Luzin, accusing him of plagiarism, nepotism, and other forms of misconduct; the hearings eventually concluded that he was a servant to "fascistoid science" and thus an enemy of the Soviet people. Luzin lost his academic positions, but curiously he was neither arrested nor expelled from the Academy of Sciences of the Soviet Union. The question of whether Kolmogorov and others were coerced into testifying against their teacher remains a topic of considerable speculation among historians; all parties involved refused to publicly discuss the case for the rest of their lives. Soviet Russian mathematician Semën Samsonovich Kutateladze concluded in 2013, after reviewing archival documents made available during the 1990s and other surviving testimonies, that the students of Luzin had initiated the accusations against Luzin out of personal acrimony; there was no definitive evidence that the students were coerced by the state, nor was there any definitive evidence to support their allegations of academic misconduct. Soviet historian of mathematics A. P. Yushkevich surmised that, unlike many of the other high profile persecutions of the era, Stalin did not personally initiate the persecution of Luzin and instead eventually concluded that he was not a threat to the regime, which would explain the unusually mild punishment relative to other contemporaries. In a 1938 paper, Kolmogorov "established the basic theorems for smoothing and predicting stationary stochastic processes"—a paper that had major military applications during the Cold War. In 1939, he was elected a full member (academician) of the USSR Academy of Sciences. During World War II Kolmogorov contributed to the Soviet war effort by applying statistical theory to artillery fire, developing a scheme of stochastic distribution of barrage balloons intended to help protect Moscow from German bombers during the Battle of Moscow. In his study of stochastic processes, especially Markov processes, Kolmogorov and the British mathematician Sydney Chapman independently developed a pivotal set of equations in the field that have been given the name of the Chapman–Kolmogorov equations. Later, Kolmogorov focused his research on turbulence, beginning his publications in 1941. In classical mechanics, he is best known for the Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, first presented in 1954 at the International Congress of Mathematicians. Kolmogorov died in Moscow in 1987 and his remains were buried in the Novodevichy cemetery. A quotation attributed to Kolmogorov is [translated into English]: "Every mathematician believes that he is ahead of the others. The reason none state this belief in public is because they are intelligent people." Vladimir Arnold once said: "Kolmogorov – Poincaré – Gauss – Euler – Newton, are only five lives separating us from the source of our science."