Введение
В теории чисел число Вудолла (Wn) — любое натуральное число вида n⋅2^n − 1 для некоторого натурального числа n. Первые несколько чисел Вудолла: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, …
for some natural number n. The first few Woodall numbers are:
1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, .
История
Числа Вуделла впервые были изучены Алланом Дж. К. Каннингемом и Х. Дж. Вуделлом в 1917 году, вдохновленные более ранним исследованием Джеймса Каллена чисел Каллена, определенных аналогичным образом.
Первочисленные числа Вудэлла
Числа Вудэлла, которые также являются простыми числами, называются простыми числами Вудэлла; первые несколько показателей *n*, для которых соответствующие числа Вудэлла *Wn* являются простыми, – это 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384; сами простые числа Вудэлла начинаются с 7, 23, 383, 32212254719.
В 1976 году Кристофер Хули показал, что почти все числа Каллена являются составными. В октябре 1995 года Уилфред Келлер опубликовал статью, в которой обсуждались несколько новых простых чисел Каллена и усилия, предпринятые для факторизации других чисел Каллена и Вудэлла. В этой статье содержится личное сообщение Келлеру от Хироми Суямы, утверждающее, что метод Хули можно переформулировать, чтобы показать, что он работает для любой последовательности чисел *n* · 2^( *n* + *a*) + *b*, где *a* и *b* – целые числа, и, в частности, что почти все числа Вудэлла являются составными. Это открытый вопрос, существует ли бесконечно много простых чисел Вудэлла. По состоянию на 2018 год самое большое известное простое число Вудэлла равно 17016602 × 217016602 − 1. Оно содержит 5 122 515 цифр и было найдено Диего Бертолотти в марте 2018 года в рамках распределенного вычислительного проекта PrimeGrid.
In 1976 Christopher Hooley showed that almost all Cullen numbers are composite. In October 1995, Wilfred Keller published a paper discussing several new Cullen primes and the efforts made to factorise other Cullen and Woodall numbers. Included in that paper is a personal communication to Keller from Hiromi Suyama, asserting that Hooley's method can be reformulated to show that it works for any sequence of numbers n · 2^(n + a) + b, where a and b are integers, and in particular, that almost all Woodall numbers are composite. It is an open problem whether there are infinitely many Woodall primes. as of 2018, the largest known Woodall prime is 17016602 × 217016602 − 1. It has 5,122,515 digits and was found by Diego Bertolotti in March 2018 in the distributed computing project PrimeGrid.
Ограничения
Начиная с W4 = 63 и W5 = 159, каждое шестое число Вудолла делится на 3; следовательно, чтобы Wn было простым числом, индекс n не должен давать остаток 4 или 5 при делении на 6. Также, для положительного целого числа m, число Вудолла W2m может быть простым только если 3m является простым числом. По состоянию на январь 2019 года единственными известными простыми числами, являющимися одновременно числами Вудолла и числами Мерсена, являются W2 = M3 = 7 и W512 = M521.
Обобщение
Обобщенное число Вудалла с основанием b определяется как число вида n × bⁿ − 1, где n + 2 > b; если простое число можно представить в этой форме, то оно называется обобщенным простым числом Вудалла. Наименьшие значения n, такие что n × bⁿ − 1 является простым для b = 1, 2, 3, составляют:
3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3,
3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3,
по состоянию на 2021 год, наибольшее известное обобщенное простое число Вудалла с основанием больше 2 равно 2740879 × 322740879 − 1.
Числа n, такие что n × bⁿ − 1 является простым: OEIS последовательность 31, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, 41, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, 1993191, 58, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, 61, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, 72, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, 81, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, 910, 58, 264, 1568, 4198, 24500, 102, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, 524427, 112, 8, 252, 1184, 1308, 1182072, 121, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, 549721, 866981, 1405486, 132, 6, 563528, 141, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, 1167708, 152, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, 1527090, 16167, 189, 639, 172, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, 181, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, 1912, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, 201, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, 663703.