Кіріспе

Сандар теориясында Вудолл саны (Wn) – кез келген натурал сан, оны n үшін былай жазуға болады:

n•2^n - 1

Вудолл сандарының алғашқы бірнешеуі: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, …

Тарих

Вудолл сандарын алғаш рет 1917 жылы Аллан Дж. Куннингэм және Х. Дж. Вудолл зерттеді, бұл Джеймс Калленнің бұрынғы, ұқсас анықталған Каллен сандарын зерттеуінен шабыттанды.

Вудэлл алғашқы сандары

Вудолл сандарының арасында жай сандар да бар, олар Вудолл жай сандары деп аталады; сәйкес Вудолл сандары Wn жай сан болатын алғашқы бірнеше көрсеткіштер – 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ; Вудолл жай сандарының өзі 7, 23, 383, 32212254719-дан басталады. 1976 жылы Кристофер Хули барлық дерлік Каллен сандарының құрама екенін көрсетті. 1995 жылдың қазан айында Уилфред Келлер бірнеше жаңа Каллен жай сандары және басқа Каллен мен Вудолл сандарын жіктеуге жасалған күш-жігерді талқылайтын мақала жариялады. Сол мақалада Хироми Суямадан Келлерге жеке хабарлама қосылған, онда Хулидің әдісін n · 2^(n + a) + b түріндегі кез келген сан тізбегі үшін жұмыс істейтінін, әсіресе, Вудолл сандарының көпшілігі құрама екенін көрсету үшін қайта формулировать болады делінген. Вудолл жай сандары шексіз көп пе, жоқ па – бұл әлі шешілмеген мәселе. 2018 жылғы мәліметтер бойынша, ең үлкен белгілі Вудолл жай саны 17016602 × 217016602 – 1. Ол 5,122,515 цифрдан тұрады және 2018 жылдың наурызында Диего Бертолотти PrimeGrid үлестірілген есептеу жобасында тапқан.

Шектеулер

W4 = 63 және W5 = 159-дан бастап, әр алтыншы Вудолл саны 3-ке бөлінеді; демек, Wn саны жай сан болуы үшін, n индексі 4 немесе 5-ке конгруэнтті болмауы керек (6-ға дейін). Сондай-ақ, оң бүтін сан m үшін, Вудолл саны W2m жай сан болуы мүмкін, егер 2m + m жай сан болса ғана. 2019 жылғы қаңтар айына дейін, Вудолл жай саны да, Мерсенн жай саны да болатын жалғыз белгілі жай сандар – W2 = M3 = 7 және W512 = M521.

Жалпылау

Жалпыланған Вудолл санының b негізі n × bn − 1 түріндегі сан деп анықталады, мұнда n + 2 > b; егер жай сан осы түрде жазыла алса, онда ол жалпыланған Вудолл жай саны деп аталады. b = 1, 2, 3 үшін n × bn − 1 жай сан болатын n-нің ең кіші мәні:
3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3,

2021 жылғы деректер бойынша, 2 негізден үлкен негізді ең үлкен белгілі жалпыланған Вудолл жай саны 2740879 × 322740879 − 1 болып табылады.

n × bn − 1 жай сан болатын n сандарыOEIS тізімі31, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, 41, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, , 1993191, 58, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, 61, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, 72, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, 81, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, 910, 58, 264, 1568, 4198, 24500, 102, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, 524427, 112, 8, 252, 1184, 1308, 1182072, 121, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, 549721, 866981, 1405486, 132, 6, 563528, 141, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, 1167708, 152, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, 1527090, 16167, 189, 639, 172, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, 181, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, 1912, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, 201, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, 663703,