Введение

В математике число Ризеля — это нечётное натуральное число k, для которого выражение 2<sup>k</sup> − 1 является составным для всех натуральных чисел n. Иными словами, если k — число Ризеля, то все члены следующего множества являются составными:

Если форма вместо этого имеет вид 2<sup>n</sup> + 1, то k — число Серпинского.

Проблема ризеля

В 1956 году Ганс Ризель показал, что существует бесконечное число целых чисел k, для которых выражение не является простым ни при каком целом n. Он показал, что число 509203 обладает этим свойством, как и 509203 плюс любое положительное целое кратное 11184810. Проблема Ризеля заключается в определении наименьшего числа Ризеля. Поскольку не было найдено покрывающего множества для какого-либо k, меньшего 509203, предполагается, что это и есть наименьшее число Ризеля. Для проверки существования k < 509203 проект Riesel Sieve (аналогичный Seventeen or Bust для чисел Сиерпинского) начался со 101 кандидата k. По состоянию на декабрь 2022 года 57 из этих k были исключены проектом Riesel Sieve, PrimeGrid или независимыми исследователями. Оставшиеся 42 значения k, для которых при всех проверенных значениях n были получены только составные числа, следующие: 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743. Последнее исключение было зарегистрировано в апреле 2023 года, когда Райан Проппер обнаружил, что число 97139 × 218397548 − 1 является простым. Это число состоит из 5 538 219 цифр. По состоянию на январь 2023 года PrimeGrid выполнил поиск среди оставшихся кандидатов до n = 14 900 000.

Одновременно Ризель и Сиерпинский

Одно число может быть одновременно числом Риселя и числом Серпинского. Такие числа называются числами Бриера. Пять наименьших известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949.