Дискретизация в математике: преобразование непрерывных функций в дискретные для численного анализа и компьютерной реализации. Бинаризация как частный случай.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Процесс перехода от непрерывных функций к дискретным аналогам
Process of transferring continuous functions into discrete counterparts
В прикладной математике дискретизация – это процесс перехода от непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений к дискретным аналогам. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг для придания им пригодности для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация – это частный случай дискретизации, при котором число дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную бинарной переменной (создавая дихотомию для целей моделирования, например, в бинарной классификации). Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений. В этом контексте дискретизация может также относиться к изменению гранулярности переменной или категории, например, при агрегировании нескольких дискретных переменных или объединении нескольких дискретных категорий. При дискретизации непрерывных данных всегда возникает некоторая ошибка дискретизации. Цель состоит в том, чтобы уменьшить эту ошибку до уровня, который считается пренебрежимо малым для целей моделирования. Термины «дискретизация» и «квантование» часто имеют одинаковое значение, но не всегда идентичные коннотации. (В частности, эти два термина принадлежат к одному семантическому полю.) То же самое справедливо для ошибки дискретизации и ошибки квантования. К математическим методам, связанным с дискретизацией, относятся метод Эйлера — Маруямы и удержание нулевого порядка.
In applied mathematics, discretization is the process of transferring continuous functions, models, variables, and equations into discrete counterparts. This process is usually carried out as a first step toward making them suitable for numerical evaluation and implementation on digital computers. Dichotomization is the special case of discretization in which the number of discrete classes is 2, which can approximate a continuous variable as a binary variable (creating a dichotomy for modeling purposes, as in binary classification). Discretization is also related to discrete mathematics, and is an important component of granular computing. In this context, discretization may also refer to modification of variable or category granularity, as when multiple discrete variables are aggregated or multiple discrete categories fused. Whenever continuous data is discretized, there is always some amount of discretization error. The goal is to reduce the amount to a level considered negligible for the modeling purposes at hand. The terms discretization and quantization often have the same denotation but not always identical connotations. (Specifically, the two terms share a semantic field.) The same is true of discretization error and quantization error. Mathematical methods relating to discretization include the Euler–Maruyama method and the zero order hold.
Приблизительные оценки
Точная дискретизация иногда может быть невыполнимой из-за сложных матричных экспоненциальных и интегральных вычислений. Гораздо проще рассчитать приближенную дискретную модель, основанную на дискретизации для малых шагов по времени. Тогда приближенное решение принимает вид:
Exact discretization may sometimes be intractable due to the heavy matrix exponential and integral operations involved. It is much easier to calculate an approximate discrete model, based on that for small timesteps The approximate solution then becomes:
Это также известно как метод Эйлера, или метод Эйлера явный. Другими возможными приближениями являются , также известный как метод Эйлера неявный, и , который известен как билинейное преобразование, или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений обладает различными свойствами устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость непрерывной системы.
This is also known as the Euler method, which is also known as the forward Euler method. Other possible approximations are , otherwise known as the backward Euler method and , which is known as the bilinear transform, or Tustin transform. Each of these approximations has different stability properties. The bilinear transform preserves the instability of the continuous time system.
Дискретизация непрерывных элементов
В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных признаков или переменных в дискретные или номинальные признаки. Это может быть полезно при построении функций распределения вероятностей.
In statistics and machine learning, discretization refers to the process of converting continuous features or variables to discretized or nominal features. This can be useful when creating probability mass functions.