Введение
Статистический тест
Z-тест – это любой статистический тест, для которого распределение статистики теста при нулевой гипотезе может быть аппроксимировано нормальным распределением. Z-тест проверяет среднее значение распределения. Для каждого уровня значимости в доверительном интервале Z-тест имеет одно критическое значение (например, 1,96 для 5% двустороннего теста), что делает его более удобным, чем t-критерий Стьюдента, критические значения которого определяются размером выборки (через соответствующие степени свободы). Z-тест и t-критерий Стьюдента схожи в том, что оба помогают определить значимость набора данных. Однако Z-тест редко используется на практике, поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности трудно определить.
Применимость
Из-за центральной предельной теоремы многие тестовые статистики приближенно нормально распределены при больших объемах выборки. Поэтому многие статистические тесты удобно проводить как приближенные Z-тесты, если размер выборки достаточно велик или известна дисперсия генеральной совокупности. Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (и, следовательно, должна быть оценена по самой выборке) и размер выборки невелик (n < 30), то t-критерий Стьюдента может оказаться более подходящим (в некоторых случаях n < 50, как описано ниже).
Использование в локальном тестировании
Термин "Z-тест" часто используется для обозначения конкретного теста на определение местоположения для одной выборки, сравнивающего среднее значение набора измерений с заданной константой, когда дисперсия выборки известна. Например, если наблюдаемые данные X1, …, Xn являются (i) независимыми, (ii) имеют общее среднее значение μ и (iii) имеют общую дисперсию σ2, то среднее значение выборки X имеет среднее значение μ и дисперсию. Нулевая гипотеза состоит в том, что среднее значение X равно заданному числу μ0. Мы можем использовать X в качестве тестовой статистики, отвергая нулевую гипотезу, если X − μ0 достаточно велико. Для вычисления стандартизированной статистики нам необходимо либо знать, либо иметь приближенное значение для σ2, из которого мы можем вычислить. В некоторых приложениях σ2 известно, но это встречается нечасто. Если размер выборки умеренный или большой, мы можем заменить выборочную дисперсию на σ2, получив тест подстановки. Полученный тест не будет являться точным Z-тестом, поскольку неопределенность выборочной дисперсии не учитывается, однако он будет хорошим приближением, если размер выборки не мал. t-тест можно использовать для учета неопределенности выборочной дисперсии, когда данные распределены нормально. Различие между Z-тестом и t-тестом: Z-тест используется, когда размер выборки большой (n > 50) или дисперсия генеральной совокупности известна. t-тест используется, когда размер выборки мал (n < 50) и дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Не существует универсальной константы, при которой размер выборки обычно считается достаточно большим для обоснования использования теста подстановки. Типичное эмпирическое правило: размер выборки должен составлять 50 наблюдений или более. Для больших выборок процедура t-теста дает почти идентичные p-значения, как и процедура Z-теста. Другие тесты на определение местоположения, которые могут быть выполнены как Z-тесты, включают тест на определение местоположения для двух выборок и тест на парные разности.
The null hypothesis is that the mean value of X is a given number μ0. We can use X as a test statistic, rejecting the null hypothesis if X − μ0 is large. To calculate the standardized statistic , we need to either know or have an approximate value for σ2, from which we can calculate In some applications, σ2 is known, but this is uncommon. If the sample size is moderate or large, we can substitute the sample variance for σ2, giving a plug in test. The resulting test will not be an exact Z test since the uncertainty in the sample variance is not accounted for—however, it will be a good approximation unless the sample size is small. A t test can be used to account for the uncertainty in the sample variance when the data are exactly normal. Difference between Z test and t test: Z test is used when sample size is large (n>50), or the population variance is known. t test is used when sample size is small (n<50) and population variance is unknown. There is no universal constant at which the sample size is generally considered large enough to justify use of the plug in test. Typical rules of thumb: the sample size should be 50 observations or more. For large sample sizes, the t test procedure gives almost identical p values as the Z test procedure. Other location tests that can be performed as Z tests are the two sample location test and the paired difference test.
Условия
Для применения Z-теста необходимо выполнение определенных условий. Параметры-помехи должны быть известны или оценены с высокой точностью (например, стандартное отклонение при проверке гипотезы о расположении в одновыборочном тесте). Z-тесты фокусируются на одном параметре, а все остальные неизвестные параметры рассматриваются как фиксированные по их истинным значениям. На практике, благодаря теореме Слуцкого, допустимо использовать согласованные оценки параметров-помех вместо их истинных значений. Однако, если размер выборки недостаточно велик для обеспечения разумной точности этих оценок, Z-тест может давать неверные результаты. Статистика теста должна иметь нормальное распределение. Обычно для обоснования предположения о нормальном распределении статистики теста обращаются к центральной предельной теореме. Существует обширный объем статистических исследований, посвященных вопросу о том, когда статистика теста приближенно нормальна. Если распределение статистики теста существенно отличается от нормального, Z-тест не следует использовать. Если используются оценки параметров-помех, как описано выше, важно выбирать оценки, соответствующие способу получения данных. В частности, для Z-тестов, применяемых к задаче проверки гипотезы о расположении одной или двух выборок, обычная выборочная стандартная девиация применима только в случае независимой выборки. В некоторых ситуациях можно разработать тест, который корректно учитывает изменчивость оценок параметров-помех. Для задач проверки гипотезы о расположении одной или двух выборок эту функцию выполняет t-тест.
Z-тесты, кроме локальных
Тесты на местоположение – наиболее распространенные Z-тесты. Другой класс Z-тестов возникает при оценке максимального правдоподобия параметров в параметрической статистической модели. Оценки максимального правдоподобия при определенных условиях приближенно нормальны, а их асимптотическая дисперсия может быть вычислена на основе информации Фишера. Оценка максимального правдоподобия, деленная на ее стандартную ошибку, может использоваться в качестве тестовой статистики для нулевой гипотезы о том, что популяционное значение параметра равно нулю. В более общем случае, если – оценка максимального правдоподобия параметра θ, а θ₀ – значение θ при нулевой гипотезе, то
можно использовать в качестве Z-статистики. При использовании Z-теста для оценок максимального правдоподобия важно учитывать, что нормальное приближение может быть неточным, если размер выборки недостаточно велик. Хотя не существует простого универсального правила, определяющего необходимый размер выборки для использования Z-теста, моделирование может дать представление о том, уместен ли Z-тест в конкретной ситуации. Z-тесты применяются всякий раз, когда можно утверждать, что тестовая статистика следует нормальному распределению при интересующей нулевой гипотезе. Многие непараметрические статистики, такие как U-статистики, при достаточно больших размерах выборки приближенно нормальны и, следовательно, часто выполняются как Z-тесты.