Кіріспе
Статистикалық сынақ
Z-сынақ – бұл нөлдік гипотеза кезінде сынақ статистикасының үлестірілімін қалыпты үлестіріліммен жуықтауға болатын кез келген статистикалық сынақ. Z-сынақ таралудың орташа мәнін тексереді. Сенімділік интервалындағы әрбір маңыздылық деңгейі үшін Z-сынақта бір ғана шекті мән болады (мысалы, 5% екі жақты сынақ үшін 1,96), бұл оны Student's t-сынағынан ыңғайлырақ етеді, себебі Student's t-сынағының шекті мәндері сынама көлемімен (сәйкес еркіндік дәрежесі арқылы) анықталады. Z-сынақ пен Student's t-сынағы екеуі де деректер жиынтығының маңыздылығын анықтауға көмектеседі. Дегенмен, z-сынақ практикада сирек қолданылады, өйткені популяциялық стандарттық ауытқуды анықтау қиын.
Қолданылуы
Орталық шек теоремасының арқасында көптеген тест статистикалары үлкен үлгілерде шамамен қалыпты таралымға ие. Сондықтан, үлгі көлемі үлкен болғанда немесе популяциялық дисперсия белгілі болғанда, көптеген статистикалық тесттерді шамамен Z-тест ретінде оңай жүргізуге болады. Егер популяциялық дисперсия белгісіз болса (демек, оны үлгіден есептеу қажет) және үлгі көлемі жеткіліксіз болса (n < 30), Студенттің t-тестісі көбірек қолданылуы мүмкін (кейбір жағдайларда, n < 50, төменде сипатталғандай).
Орналасуды тексеруде қолдану
"Z сынағы" термині көбінесе бір үлгідегі орналасу сынағын нақты атау үшін қолданылады, бұл сынақ үлгідегі дисперсия белгілі болған кезде өлшемдер жиынтығының орташа мәнін белгілі бір тұрақты санмен салыстырады. Мысалы, егер X1, …, Xn байқалған деректер (i) тәуелсіз болса, (ii) ортақ орташасы μ болса және (iii) ортақ дисперсиясы σ2 болса, онда үлгідегі орташа X-тің орташасы μ және дисперсиясы болады. Нөлдік гипотеза X-тің орташа мәні μ0-қа тең дегенді білдіреді. Егер X – μ0 мәні үлкен болса, нөлдік гипотезаны қабылдамай, X-ті тест статистикасы ретінде пайдалануға болады. Стандартталған статистикалық шаманы есептеу үшін σ2-нің мәнін білу немесе оның жуық шамасын білу қажет, содан кейін оны есептеуге болады. Кейбір жағдайларда σ2 белгілі, бірақ мұндай жағдай сирек кездеседі. Егер үлгі көлемі орташа немесе үлкен болса, σ2 орнына үлгінің дисперсиясын қоюға болады, бұл "қосымша" тестті береді. Нәтижесінде алынған тест дәл Z сынағы болмайды, өйткені үлгідегі дисперсияның белгісіздігі ескерілмейді, бірақ үлгі көлемі кішкентай болмаса, бұл жақсы жуықтау болады. Деректер толыққанды қалыпты болған жағдайда, үлгідегі дисперсияның белгісіздігін ескеру үшін t-сынағын қолдануға болады. Z сынағы мен t-сынағының арасындағы айырмашылық: Z сынағы үлкен үлгі көлемі үшін (n>50) немесе популяциялық дисперсия белгілі болғанда қолданылады. t-сынағы кішкентай үлгі көлемі үшін (n<50) және популяциялық дисперсия белгісіз болғанда қолданылады. "Қосымша" тестті қолдануды негіздейтін жалпыға ортақ үлгі көлемі жоқ. Көбінесе қолданылатын ереже: үлгі көлемі 50 немесе одан көп болуы керек. Үлкен үлгілер үшін t-сынағының процедурасы Z-сынағының процедурасымен шамалас p-мәндерін береді. Z-сынағы ретінде жүргізілетін басқа орналасу сынақтарына екі үлгідегі орналасу сынағы және жұпталған айырмашылық сынағы жатады.
The null hypothesis is that the mean value of X is a given number μ0. We can use X as a test statistic, rejecting the null hypothesis if X − μ0 is large. To calculate the standardized statistic , we need to either know or have an approximate value for σ2, from which we can calculate In some applications, σ2 is known, but this is uncommon. If the sample size is moderate or large, we can substitute the sample variance for σ2, giving a plug in test. The resulting test will not be an exact Z test since the uncertainty in the sample variance is not accounted for—however, it will be a good approximation unless the sample size is small. A t test can be used to account for the uncertainty in the sample variance when the data are exactly normal. Difference between Z test and t test: Z test is used when sample size is large (n>50), or the population variance is known. t test is used when sample size is small (n<50) and population variance is unknown. There is no universal constant at which the sample size is generally considered large enough to justify use of the plug in test. Typical rules of thumb: the sample size should be 50 observations or more. For large sample sizes, the t test procedure gives almost identical p values as the Z test procedure. Other location tests that can be performed as Z tests are the two sample location test and the paired difference test.
Шарттар
Z сынағын қолдану үшін белгілі бір шарттар орындалуы керек. Көңілге тиетін параметрлер белгілі болуы немесе жоғары дәлдікпен бағалануы тиіс (мысалы, бір үлгідегі орналасу сынағындағы стандартты ауытқу – бұл көңілге тиетін параметрдің мысалы). Z сынақтары бір ғана параметрге назар аударады және қалған белгісіз параметрлердің барлығын олардың нақты мәндерінде тұрақтанды деп есептейді. Практикада, Слуцкий теоремасына сәйкес, көңілге тиетін параметрлердің тұрақты бағалауларын «қосу» арқылы негіздеуге болады. Бірақ, егер үлгінің көлемі осы бағалаулардың жеткілікті дәлдігін қамтамасыз етпесе, Z сынағы тиімді жұмыс істемей қалуы мүмкін. Сынақ статистикасы қалыпты үлестірімге сәйкес болуы керек. Әдетте, сынақ статистикасы қалыпты түрде өзгереді деп есептеу үшін орталық шектеу теоремасына жүгінеді. Сынақ статистикасының шамамен қалыпты түрде өзгеруі туралы мәселе бойынша көптеген статистикалық зерттеулер жүргізілген. Егер сынақ статистикасының өзгеруі қалыпты емес болса, Z сынағын қолдануға болмайды. Егер жоғарыда айтылғандай, көңілге тиетін параметрлердің бағалаулары енгізілсе, деректерді үлгіге алу тәсіліне сәйкес бағалауларды пайдалану маңызды. Бір немесе екі үлгідегі орналасу мәселесі үшін Z сынағын қолданғанда, әдеттегі үлгідегі стандартты ауытқу тек деректер тәуелсіз үлгі ретінде алынған жағдайда ғана қолданылады. Кейбір жағдайларда, көңілге тиетін параметрлердің бағалауларындағы өзгерісті дұрыс ескеретін сынақ құруға болады. Бір және екі үлгідегі орналасу мәселелері үшін t сынағы осыны істейді.
Орналасу сынағынан басқа Z-тестілеу
Орналасу тестілері ең танымал Z тестілері болып табылады. Z тестілерінің тағы бір класы параметрлік статистикалық модельдегі параметрлердің максималды ықтималдық бағалауында қолданылады. Максималды ықтималдық бағалаулары белгілі бір жағдайларда шамамен қалыпты болады, ал олардың асимптотикалық дисперсиясы Фишер ақпараты арқылы есептеледі. Максималды ықтималдық бағасын оның стандартты қатесіне бөлгенде, параметрдің популяциялық мәні нөлге тең деген нөлдік гипотеза үшін тест статистикасы ретінде пайдалануға болады. Жалпы алғанда, егер θ параметрінің максималды ықтималдық бағасы болса, ал θ0 нөлдік гипотеза бойынша θ мәні болса, келесі теңдеу Z тест статистикасы ретінде қолданылуы мүмкін. Максималды ықтималдық бағалаулары үшін Z тестісін пайдаланғанда, үлгі көлемі жеткілікті үлкен болмаса, қалыпты жуықтаудың дұрыс болмауы мүмкін екенін ескеру маңызды. Z тестісін қолдану үшін үлгі көлемі қаншалықты үлкен болуы керектігін көрсететін қарапайым, әмбебап ереже болмаса да, модельдеу Z тестісінің белгілі бір жағдайда қолайлы екендігі туралы жақсы түсінік бере алады. Z тестілері, сынақ статистикасы қызығушылық тудыратын нөлдік гипотеза бойынша қалыпты таралымды ұстанады деп дәлелдеуге болатын жағдайларда қолданылады. Көптеген параметрлік емес тест статистикалары, мысалы U статистикасы, жеткілікті үлкен үлгілер үшін шамамен қалыпты болады, сондықтан олар көбінесе Z тестілері ретінде жүргізіледі.
can be used as a Z test statistic. When using a Z test for maximum likelihood estimates, it is important to be aware that the normal approximation may be poor if the sample size is not sufficiently large. Although there is no simple, universal rule stating how large the sample size must be to use a Z test, simulation can give a good idea as to whether a Z test is appropriate in a given situation. Z tests are employed whenever it can be argued that a test statistic follows a normal distribution under the null hypothesis of interest. Many non parametric test statistics, such as U statistics, are approximately normal for large enough sample sizes, and hence are often performed as Z tests.