Введение
Точный способ измерения сопротивления и напряжения Холла
The van der Pauw Method is a technique commonly used to measure the resistivity and the Hall coefficient of a sample. Its power lies in its ability to accurately measure the properties of a sample of any arbitrary shape, as long as the sample is approximately two dimensional (i. e. it is much thinner than it is wide), solid (no holes), and the electrodes are placed on its perimeter. The van der Pauw method employs a four point probe placed around the perimeter of the sample, in contrast to the linear four point probe: this allows the van der Pauw method to provide an average resistivity of the sample, whereas a linear array provides the resistivity in the sensing direction. This difference becomes important for anisotropic materials, which can be properly measured using the Montgomery Method, an extension of the van der Pauw Method (see, for instance, reference). From the measurements made, the following properties of the material can be calculated:
The resistivity of the material
The doping type (i. e. whether it is a P type or N type material)
The sheet carrier density of the majority carrier (the number of majority carriers per unit area). From this the charge density and doping level can be found
The mobility of the majority carrier
The method was first propounded by Leo J. van der Pauw in 1958.
Метод ван дер Пау – это техника, обычно используемая для измерения удельного сопротивления и коэффициента Холла образца. Его преимущество заключается в способности точно измерять свойства образца любой произвольной формы, при условии, что образец приблизительно двумерный (то есть значительно тоньше, чем шире), сплошной (без полостей) и электроды расположены по его периметру. Метод ван дер Пау использует четырехточечный зонд, размещенный по периметру образца, в отличие от линейного четырехточечного зонда: это позволяет методу ван дер Пау определять среднее удельное сопротивление образца, в то время как линейный массив измеряет сопротивление в направлении зондирования. Эта разница становится важной для анизотропных материалов, которые можно корректно измерить с помощью метода Монтгомери, являющегося расширением метода ван дер Пау (см., например, ссылку). На основе полученных измерений можно рассчитать следующие свойства материала:
The van der Pauw Method is a technique commonly used to measure the resistivity and the Hall coefficient of a sample. Its power lies in its ability to accurately measure the properties of a sample of any arbitrary shape, as long as the sample is approximately two dimensional (i. e. it is much thinner than it is wide), solid (no holes), and the electrodes are placed on its perimeter. The van der Pauw method employs a four point probe placed around the perimeter of the sample, in contrast to the linear four point probe: this allows the van der Pauw method to provide an average resistivity of the sample, whereas a linear array provides the resistivity in the sensing direction. This difference becomes important for anisotropic materials, which can be properly measured using the Montgomery Method, an extension of the van der Pauw Method (see, for instance, reference). From the measurements made, the following properties of the material can be calculated:
The resistivity of the material
The doping type (i. e. whether it is a P type or N type material)
The sheet carrier density of the majority carrier (the number of majority carriers per unit area). From this the charge density and doping level can be found
The mobility of the majority carrier
The method was first propounded by Leo J. van der Pauw in 1958.
Удельное сопротивление материала
Тип легирования (то есть, является ли материал p-типа или n-типа)
Плотность носителей заряда основного типа (количество основных носителей на единицу площади). На основе этого можно определить объемную плотность заряда и уровень легирования.
Подвижность основного носителя заряда
The van der Pauw Method is a technique commonly used to measure the resistivity and the Hall coefficient of a sample. Its power lies in its ability to accurately measure the properties of a sample of any arbitrary shape, as long as the sample is approximately two dimensional (i. e. it is much thinner than it is wide), solid (no holes), and the electrodes are placed on its perimeter. The van der Pauw method employs a four point probe placed around the perimeter of the sample, in contrast to the linear four point probe: this allows the van der Pauw method to provide an average resistivity of the sample, whereas a linear array provides the resistivity in the sensing direction. This difference becomes important for anisotropic materials, which can be properly measured using the Montgomery Method, an extension of the van der Pauw Method (see, for instance, reference). From the measurements made, the following properties of the material can be calculated:
The resistivity of the material
The doping type (i. e. whether it is a P type or N type material)
The sheet carrier density of the majority carrier (the number of majority carriers per unit area). From this the charge density and doping level can be found
The mobility of the majority carrier
The method was first propounded by Leo J. van der Pauw in 1958.
Метод был впервые предложен Лео Дж. ван дер Пау в 1958 году.
The van der Pauw Method is a technique commonly used to measure the resistivity and the Hall coefficient of a sample. Its power lies in its ability to accurately measure the properties of a sample of any arbitrary shape, as long as the sample is approximately two dimensional (i. e. it is much thinner than it is wide), solid (no holes), and the electrodes are placed on its perimeter. The van der Pauw method employs a four point probe placed around the perimeter of the sample, in contrast to the linear four point probe: this allows the van der Pauw method to provide an average resistivity of the sample, whereas a linear array provides the resistivity in the sensing direction. This difference becomes important for anisotropic materials, which can be properly measured using the Montgomery Method, an extension of the van der Pauw Method (see, for instance, reference). From the measurements made, the following properties of the material can be calculated:
The resistivity of the material
The doping type (i. e. whether it is a P type or N type material)
The sheet carrier density of the majority carrier (the number of majority carriers per unit area). From this the charge density and doping level can be found
The mobility of the majority carrier
The method was first propounded by Leo J. van der Pauw in 1958.
Подготовка образца
Для использования метода ван дер Пау, толщина образца должна быть значительно меньше его ширины и длины. Для снижения погрешностей в расчетах желательно, чтобы образец был симметричным. Также недопустимо наличие изолированных отверстий внутри образца. Для проведения измерений необходимо нанести на образец четыре омических контакта. При их размещении необходимо соблюдать определенные условия: они должны быть максимально малыми; любые погрешности, вызванные их ненулевым размером, будут порядка D/L, где D – средний диаметр контакта, а L – расстояние между контактами. Они должны быть расположены как можно ближе к границе образца. Кроме того, все провода, подключенные к контактам, должны быть изготовлены из одной партии проволоки для минимизации термоэлектрических эффектов. По той же причине все четыре контакта должны быть изготовлены из одного и того же материала.
They must be as small as possible; any errors given by their non zero size will be of the order D/L, where D is the average diameter of the contact and L is the distance between the contacts. They must be as close as possible to the boundary of the sample. In addition to this, any leads from the contacts should be constructed from the same batch of wire to minimise thermoelectric effects. For the same reason, all four contacts should be of the same material.
Определения измерений
Контакты пронумерованы от 1 до 4 против часовой стрелки, начиная с верхнего левого контакта. Ток I12 – это положительный постоянный ток, подаваемый на контакт 1 и отводимый от контакта 2, измеряемый в амперах (А). Напряжение V34 – это постоянное напряжение, измеряемое между контактами 3 и 4 (то есть V4 – V3) при отсутствии внешнего магнитного поля, измеряемое в вольтах (В). Удельное сопротивление ρ измеряется в ом-метрах (Ом⋅м). Толщина образца t измеряется в метрах (м). Удельное сопротивление поверхности RS измеряется в омах на квадрат (Ом/кв. или Ω/sq).
Измерения сопротивления
Среднее удельное сопротивление образца определяется как ρ = RS⋅t, где поверхностное сопротивление RS определяется следующим образом. Для анизотропного материала отдельные компоненты удельного сопротивления, например ρx или ρy, могут быть рассчитаны с использованием метода Монтгомери.
Основные измерения
Для измерения пропускают ток по одному краю образца (например, I12) и измеряют напряжение на противоположном краю (в данном случае V34). По этим двум значениям сопротивление (для этого примера, ) можно найти, используя закон Ома:
В своей статье ван дер Пау показал, что удельное сопротивление плоских образцов произвольной формы можно определить по двум сопротивлениям – одному, измеренному вдоль вертикального края, например, , и соответствующему, измеренному вдоль горизонтального края, например, . Фактическое удельное сопротивление связано с этими сопротивлениями формулой ван дер Пау.
Точность измерения
Обе вышеуказанные процедуры проверяют повторяемость измерений. Если какое-либо из измерений с обратной полярностью не соответствует соответствующему измерению со стандартной полярностью с достаточной степенью точности (обычно в пределах 3%), то, вероятно, в настройке присутствует источник ошибки, который необходимо устранить перед продолжением работы. Тот же принцип применим и к взаимным измерениям – они должны согласовываться с достаточной точностью, прежде чем будут использованы в каких-либо расчетах.
Проведение измерений
Необходимо провести два набора измерений: один с магнитным полем в положительном направлении оси z, как показано выше, и один – в отрицательном направлении оси z. Начиная с этого момента, напряжения, измеренные при положительном поле, будут обозначаться индексом P (например, V13,P = V3,P, V1,P), а напряжения, измеренные при отрицательном поле – индексом N (например, V13,N = V3,N, V1,N). Для всех измерений величина подаваемого тока должна быть одинаковой, а величина магнитного поля – одинаковой в обоих направлениях. Сначала, при положительном магнитном поле, к образцу прикладывается ток I24 и измеряется напряжение V13,P; следует отметить, что напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными. Затем процедура повторяется для тока I13 и напряжения V42,P.
Как и ранее, мы можем использовать теорему о взаимности для проверки точности этих измерений. Если изменить направление токов (то есть приложить ток I42 и измерить V31,P, а затем повторить для тока I31 и напряжения V24,P), то V13,P должно совпадать с V31,P в пределах допустимой погрешности. Аналогично, V42,P и V24,P должны соответствовать друг другу. После завершения измерений положительное магнитное поле заменяется на отрицательное, и вышеописанная процедура повторяется для получения измерений напряжений V13,N, V42,N, V31,N и V24,N.